Zylinderflächen. 
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Es ist nicht schwer, diese Regel auf die andern Koordiuatenebeneu 
und Koordinatenachsen, falls sie als Meridianebenen und Rotations 
achsen verwendet werden, zu übertragen. 
Beispiele. 1. Als Rotationsachse diene die^-Achse, als Erzeugende 
die die ir-Achse senkrecht schneidende Gerade 
x = a, y = mz. («) 
Aus diesen und den Gleichungen (1) ergibt sich dann die Bediugungs- 
gleichung 
a 2 + (1 + m 2 ) v 2 = u 2 , 
aus der wiederum durch Elimination von u, v die Gleichung 
x 2 -f y 2 — m 2 z 2 = a' 2 [ß) 
der beschriebenen Fläche resultiert. 
Da die Gleichung (ß) unverändert bleibt, wenn man m durch 
— m ersetzt, so enthält die Fläche zwei Scharen von Geraden, nämlich 
alle Lagen, in welche die Gerade (a), und auch alle Lagen, in welche 
die Gerade 
x = a, y = — mz {a) 
während der Rotation gelangt. 
Aus (ß) ergibt sich mit y = 0 die Gleichung 
x 2 — m 2 z 2 = a 2 
der in der zx-Ebene befindlichen Meridiane, die somit die beiden Äste 
einer Hyperbel bilden, deren reelle Achse. 2a in der #-Achse liegt, 
so daß die Fläche auch durch Umdrehung dieser Hyperbel um ihre 
imaginäre Achse beschrieben wird. 
2. Durch Rotation der Parabel 
z 2 = 2p x 
um die z- Achse entsteht die Fläche vierter Ordnung 
z i = 4p 2 {x 2 + y 2 ). 
3. Durch Rotation des Kreises 
{x — a) 2 + £ 2 = r 2 (a + 0) 
um die z- Achse entsteht die als Torus benannte Fläche vierter Ord 
nung, deren Gleichung nach der obigen Regel 
Cj/x 2 -f y 2 — a) 2 4- z 2 = r 2 
und in rationaler Form 
(x 2 -f- y 2 + z 2 + a 2 — r 2 ) 2 = 4a 2 (x 2 -f y 2 ) 
lautet. 
258. Affinität. Denkt man sich den Raum auf ein rechtwink- 
Gzuber, Höhere Mathematik. 24