370 
Analytische Geometrie des Raumes. § 4. Krumme Flächen. 
liges Koordinatensystem bezogen und ordnet jedem Punkte M{x/y / z) 
einen Punkt M'{x'/y'/z') nach dem Gesetze 
x'=hx, y' = y, z'= z (1) 
zu, so sagt man, der Raum sei affin transformiert worden; Fig. 113. 
Man hat sich den Raum zweimal zu denken, einmal als Ort der Punkte M, 
ein zweitesmal als Ort der Punkte M'; in diesem Sinne spricht man 
von zwei affinen Räumen. 
Bei der angegebenen Transformation bleiben die Punkte der 
yz-Ebene in Ruhe, weil mit x = 0 auch x'= 0 wird, sie heißt die 
z Affinitätsebene. Außerhalb dieser Ebene liegende 
Punkte erleiden eine Verschiebung parallel der 
x-Achse, die die Affinitätsrichtung bezeichnet; das 
Maß dieser Verschiebung hängt außer von der 
Y Entfernung des betreffenden Punktes von der Af- 
tinitätsebene auch von der Konstanten h ab, die 
man das Affnitätsverhältnis nennt; stellt man sich 
vor, M rücke ins Unendliche, so gilt dasselbe von M', und hält man 
an der Vorstellung (179) fest, eine Gerade enthalte nur einen unend 
lich fernen Punkt, so kann man sagen, daß auch die unendlich fernen 
Punkte des Raumes bei einer affinen Transformation in Ruhe bleiben. 
Je nachdem lc < 1 oder >1, findet eine Verkürzung oder Ver 
PA. 
d 
M M‘ 
--o o 
Kg. 113. 
längerung der Strecken PM statt; bei &= 1 bliebe alles unverändert 
(identische Transformation). 
Die affinen Transformationen bezüglich der zx- und der xy- Ebene 
sind durch die Substitutionsgleichungen 
x' = x, y' = hy, z' = z, (2) 
, . , . #'=#,«'=«, z'=hz (3) 
gekennzeichnet. v ' 
Man kann jede Ebene zur Affinitätsebene und jede ihr nicht an- 
gehörende Richtung zur Affinitätsrichtung wählen. 
Denkt man sich auf alle Punkte eines geometrischen Gebildes 
eine affine Transformation ausgeübt, so entsteht ein neues Gebilde, 
das zu dem ursprünglichen affin heißt; insbesondere entsteht aus einer 
Fläche wieder eine Fläche und aus einer Linie wieder eine Linie. 
Bezüglich des Zusammenhangs affiner Gebilde sind insbesondere 
die folgenden Tatsachen hervorzuheben. 
Aus einer Ebene entsteht durch affine Transformation wieder eine 
Eibene, die sich mit der ursprünglichen in der Affinitätsebene schneidet. 
Die Gleichung 
Ax -h By + Cz + I) = 0 
verwandelt sich nämlich durch die Substitution (1) in 
f,x'+By'+Cz'+D = 0,