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Affinität im Raume. Flächen zweiter Ordnung 
und da mit x = 0 auch x' = 0 ist, so haben beide Ebenen dieselbe 
i/^-Spur: Brj C% D = 0; ist eine der Ebenen der Affinitätsebene 
parallel, so ist es auch die andere. 
Infolge dieses Sachverhaltes ist auch das affine Gebilde einer Ge 
raden wieder eine Gerade, die sich mit der ursprünglichen in der 
Affinitätsebene (im Endlichen oder Unendlichen) schneidet. 
Weil ferner die der affinen Transformation entsprechende Sub 
stitution linear ist, eine algebraische Gleichung aber bei einer linearen 
Substitution ihren Grad nicht ändert, so ist die zu einer Fläche n-ter 
Ordnung affine Fläche wieder von der n-ten Ordnung. Ebenso bleibt 
bei der affinen Transformation einer algebraischen Linie deren Ordnung 
erhalten. 
259. Die Flächen zweiter Ordnung. Jede Fläche, deren 
Gleichung in den Koordinaten x, y, z vom zweiten Grade ist, wird 
eine Fläche zweiter Ordnung (auch zweiten Grades) genannt. 
I. Aus der Kugel 
0.0.0 
a- 
x 2 + V* + z 2 = ci 2 (1) 
entstehen, wenn man auf sie affine Transformation bezüglich der xy- 
Ebene mit k 
x* + y 
die unterschieden werden in verlängerte oder oblonge (wenn c> a) 
und in abgeplattete oder Sphäroide (wemi c < a). 
Wird auf ein Rotationsellipsoid nochmals affine Transformation 
in bezug auf eine andere Koordinatenebene, z. B. in bezug auf die zx- 
Ebene, mit dem Verhältnis k' = ^ angewendet, so entsteht das all 
gemeine oder dreiachsige Ellipsoid 
'i? 2 
+ 
»■ ■ C s - (3) 
Die Rotationsellipsoide werden unmittelbar erzeugt durch Um 
drehung der Ellipse ~ -j- = 1 um die z- Achse (257). 
a“ c 
II. Durch Umdrehung der Hyperbel — " s = 1 um die z-, also 
die imaginäre Achse entsteht das einmantelige oder einschalige 
Botationshyperboloi d 
I ,.2 -2 
Diese Gleichung geht durch die Substitution = m in die Gleichung (ß) 
iu 257 über, von der erkannt wurde, daß sie einer Fläche mit zwei 
Scharen von Geraden angehört. 
o 
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