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Der Zahlbegriff. § 2. Imaginäre Zahlen. 
7. Setzt man, um zur Divisionsregel zu gelangen, den Quotienten 
in der Form einer komplexen Zahl an: 
so ist 
« + ß i 
V+fi = x + ’J l 
a + ßi = (a -f ß'i) (x + yi) = a x — ß'y + (ß'x + ciy)i 
die unmittelbare Folge, aus der sich auf Grund von 2. zur Bestimmung 
der Elemente x, y die Gleichungen 
a x — ß'y = a 
ß'x + ay = ß 
ergeben; eliminiert man einmal y, ein zweitesmal x, so kommt man 
zu den neuen Gleichungen 
(V 2 + ß' 2 )x = aa + ßß' 
(a' 2 + ß" 2 )y = aß — aß'- 
sofern also a' 2 -\- /3' 2 =1= 0 ? was mit Rücksicht auf 1. auch so viel heißt 
als a + ß'i =(= 0, ergibt sich für x } y die einzige Bestimmung: 
aa+ßß' — a P. 
x tt '*+ß’2> V efi+p*' 
unter der soeben gemachten Voraussetzung ist also 
« -j- ßi 
u -f- ß’ i 
«<*' + ßß' 
cc* ß' 2 u 2 +ß' 2 
(9) 
19. Trigonometrische Form einer komplexen Zahl. Die 
positive Quadratwurzel aus der Norm einer komplexen Zahl a -f ßi, 
r = y ( c 2 + ß\ (10) 
nennt man deren Modul. Mit seiner Benützung schreibt sich 
a + ßi = r (“ + ~i) , 
und da + (^j = 1, so läßt sich in dem Intervall (0,2 ri) ein und 
nur ein Winkel cp bestimmen derart, daß 
cos ^=“> sin (p = ~. (11) 
Dann hat man 
a -f ßi = r (cos cp + i sin cp) . (12) 
Diese Darstellungsform 1 ) ist für die Ausbildung des Rechnens mit 
komplexen Zahlen von der größten Bedeutung geworden. 
Den Winkel cp nennt man die Amplitude oder Anomalie von 
a -f ßi. Unter Benutzung von r, cp soll für die komplexe Zahl a -j- ßi 
auch das abgekürzte Zeichen r verwendet werden. 
1) Ihr Urheber ist L. Euler.