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Analytische Geometrie des Raumes. § 4. Krumme Flächen. 
Das Ergebnis der Betrachtung geht also dahin, daß alle Tan 
genten in einem Flächenpnnkte im allgemeinen — ein besonderes 
Verhalten der Ableitungen f x , f y ,f z ausgeschlossen — in einer Ebene 
liegen, die man als die Tangenten- oder Tangentialebene der Fläche im 
Punkte M bezeichnet; (7) ist ihre Gleichung. 
L Ist der Punkt M gegeben, so erfordert die Bestimmung der 
Tangentialebene lediglich die Ausführung der Gleichung (7). 
Beispiel. Ist M ein Punkt des dreiachsigen Ellipsoids 
/0, V, e) = + ll + % -1=0, 
so ergibt sich die Gleichung der Tangentialebene daselbst zunächst in 
der Form: 
• @ ~ ®) Tpr + (V ~ V) % + (S - e) ^ = °, 
und bei weiterer Ausführung lautet sie einfacher: 
!Üi JL UH i _ 1 
a 2 ~ t " & 2 ^ c 2 
II. Sollen au die Fläche durch einen Punkt -F*(^o/^/o/^o) Tangential 
ebenen gelegt werden, so haben deren unbekannte Berührungspunkte 
xjyjz außer der Gleichung der Fläche 
/0, y,B) = o 
noch der Gleichung 
Oo “ x )/* + (//o - y)fu + (*o - *)/*' = 0 
zu genügen. Ihre Gesamtheit, durch dieses Gleichungspaar bestimmt, 
ist eine auf der Fläche liegende Kurve, die Berührungskurve des Kegels, 
der der Fläche aus dem Punkte P umschrieben ist, indem seine Be 
rührungsebenen zugleich Tangentialebenen der Fläche sind. 
Beispiel. Bei dem Ellipsoid des vorigen Beispiels lautet das 
Gleichungspaar zur Bestimmung der Berührungskurve: 
* 2 + y" I A 2 = 1 
a 2 ' b 2 ^ e 2 ’ 
_i_ loj , 
a 2 _r . ft 2 c* “ ' 
die zweite Gleichung bestimmt bei variablem x, y, z eine (stets reelle) 
Ebene, deren Schnitt mit dem Ellipsoid die Berührungskurve bildet. 
Man nennt die Ebene die Polarebene des Punktes P in bezug auf das 
Ellipsoid, P ihren Pol. Ein analoger Sachverhalt ergibt sich für jede 
Fläche zweiter Ordnung, wie man an der allgemeinen Gleichung (15), 
259, erweisen kann. 
III. Sind an die Fläche Tangentialebenen zu legen, die einer ge-