Rechnen mit komplexen Zahlen. 
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Multiplikation und Division stellen sich nun wie folgt dar: 
Es ist 
r^r'ip, = rr' (cos Cp 4 i sin cp) (cos cp' + i sin cp') 
rr [cos Cp COS Cp — sin Cp sin cp' 4 i (sin (p COS Cp' + COS Cp sin cp')] 
d. i. 
r^Ty, = rr { cos {cp 4 cp') + i sin (cp 4 cp')} = (rr) 
<p + V 
(13) 
ferner 
d. i. 
- :• ( 
<p’ 
r cos qp -f- i sin cp 
r COS cp -j- i sin cp' 
COS cp cos cp' -f- sin qp sin cp' sin cp COS Cp' — cos qp sin cp 
9 7 I • o / 1 
If _ I I 
COS 2 qp' -)- sin 2 qp' 1 cos 2 qp' -|- sin 2 qp' 
{cp cp') 4 i sin {cp -cp')} = ( r ) 
' (f — cp' 
= , cos 
(14) 
20. Moivresche Binomialformel. Dehnt man die Formel (13) 
auf n Faktoren r\jf r^l, . . . r^ n aus, so ergibt sich für ihr Produkt 
der Modul r (1 M 2 ) . . . die Amplitude cp x 4 <jp 2 -|- . . . 4 <P n ’, werden 
nun die Faktoren sämtlich gleich der Zahl r (p , so geht ihr Produkt 
in die n-te Potenz, sein Modul in r n , die Amplitude in ncp über, 
so daß 
[r (cos cp 4 i siuqp)}” = r n {cos ncp 4 i sin ncp). (15) 
Hieraus geht der Ansatz 
(cos cp 4 i sin qp)" = cos ncp -f- i sin ncp} (16) 
hervor, den man als Moivresche Binomialformel 1 ) bezeichnet. Nach 
dem Gange der Herleitung ist bei n an eine natürliche Zahl zu denken. 
Daß die Formel auch für ein negatives ganzes n Geltung hat, wenn 
man die Permanenz in allen Belangen wahrt, ist so zu erkennen. 
Es ist 
1 cos 0 —x sin 0 
Daher 
cosi^ -)— ^ sim/> cosi/j -(- i sinip 
(cos cp 4 i sin cp)~ n = 
= cos (— cf) + i sin (— cf) . 
(COS qp 4 i s i n <jp) n COSWqp 4 * sinwqp 
= cos (— ncp) 4 l sin (— n <p) • 
21. Radizieren komplexer Zahlen. Um das Wurzelziehen 
au komplexen Zahlen zur Ausführung zu bringen, gehe man von dem 
Ansätze 
yV (cos cp 4 i sin <p) = (cos CO 4 i sin cf) 
aus, dessen unmittelbare Folge 
I Q (COS 03 4 i sin 03) ) 11 — r (cos cp 4 i sin cp) 
1) Dem Inhalte nach 1730 von A. de Moivre begründet, in der heutigen 
Form erst 1748 von L. Euler in der Introductio in analysin infinitorum gegeben.