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Der Zahlbegriff. § 2. Imaginäre Zahlen. 
aus ihrer trigonometrischen Form erkennt man unmittelbar, daß 
w s = w\, aber auch, daß w 2 = w\\ bezeichnet man also eine der 
komplexen Wurzeln mit w, so können alle drei Wurzeln durch 
dargestellt werden. 
3. Die Forderung p 7 — b, von der in 17 ausgegangen worden war, 
erscheint jetzt auf die Forderung y'i zurück geführt; da nun i = cos ^ 
4- i sin ^ gesetzt werden kann, so hat man nach (17) 
(k = 0, 1, ... p — 1) . 
p r. (Ak ~\- l)n . . (4k 4- 1) Tt 
y l = cos -—i— 7 h 1 sin -—a——, 
' 2p 1 2p 
Es ist also beispielsweise 
■jt ... it l/3 + i 
cos v 4 % sin = 
oit . . . o Tt 
COS — + 4 Sin - 
-ys + * 
COS - 4 * Sin . 
ö b 
23. G-eometrische Darstellung der komplexen Zahlen. 
Zwei zueinander senkrechte Gerade OX, OY, Fig. 1, mit gemein- 
Y samem Nullpunkt sollen nach Annahme einer 
Längeneinheit 1 jede für sich zur Darstellung 
des reellen Zahlensystems verwendet werden 
(15). Dem Punkte A auf OX entspreche 
die Zahl a, dem Punkte B auf 0 Y die 
Zahl /3; dann könnte das Punktepaar A, B 
als Bild der komplexen Zahl a ßi ge- 
-jt nommen werden. Vollkommener wird die 
Abbildung durch den Punkt M erreicht, der 
<x, ß zu rechtwinkligen Koordinaten hat 1 ), 
weil durch einen Punkt dem einheitlichen Charakter der Zahl cc ßi 
besser Rechnung getragen ist, als durch ein Punktepaar. 
Jedem Punkte der Ebene entspricht auf diese Art eine bestimmte 
Zahl; diese ist reell, wenn der Punkt in OX liegt; rein imaginär, 
wenn er auf OY liegt; komplex, wenn er außerhalb beider Geraden sich 
befindet. In dieser Auffassung heißt die Ebene auch Zahlenebene 
oder komplexe ZaJilenebene. 
1) Diese Darstellungsweise ist zum erstenmal von dem dänischen Feld 
messer Kaspar Wessel in einer aus dem Jahre 1797 stammenden Abhandlung 
angegeben worden; Anklänge an den gleichen Gedanken finden sich in der 
Dissertation von Gauß (1799); unabhängig von beiden erfand sie J. ß. Argand 
(1806). Zur Verbreitung aber verhalt ihr erst Gauß durch seine Theoria resi- 
duorum biquadraticorum (1828—1832).