Unendliche Zahlenfolgen. 
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II. Abschnitt. 
Unendliche Reihen und Produkte. 
§ 1. Grundlegende Begriffe. 
25. Unendliche Zahlenfolgen. Eine unbegrenzt fortsetzbare 
oder unendliche Folge reeller Zahlen 
j 6U) j &3 )••••} 
kurz (af), kann bei fortschreitender Verfolgung ihrer Glieder ein ver 
schiedenes Verhalten zeigen. 
Nähern sich die Glieder einer bestimmten Zahl a derart, daß 
a n —a\ mit beständig zunehmendem n schließlich unter jeden noch 
so klein festgesetzten Betrag sinkt, so nennt man die Zahlenfolge 
konvergent, a ihre Grenze und drückt diesen Sachverhalt durch den 
Ansatz 
lim a n = a (1) 
n— cc 
aus. n = oo bedeutet hier, daß n über jede noch so große natürliche 
Zahl hinauskommt. 
Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer 
Grenze, also für die Konvergenz von (a n ), besteht darin, daß a n+p — a n 
durch Wahl von n allein, also bei jedem p, beliebig Mein gemacht werden 
kann. (Vgl. hiermit 13, 2., wo die a n als rationale Zahlen voraus 
gesetzt waren.) 
Daß die Bedingung notwendig ist, folgt aus dem Begriff der 
Grenze (13, 2.). Daß sie auch hinreicht, ist so zu erkennen. Ist 
einmal \a n+p —a n \ < £, so liegt a n+p zwischen a n — e und a n -\- s: 
diese Werte können aber durch Wahl von n einander beliebig nahe 
gebracht werden, und da alle späteren Glieder der Folge zwischen 
ihnen enthalten sind, so ist damit gezeigt, daß sich die späten Glieder 
der Folge in beliebig eng zu ziehende Grenzen einschließen lassen, 
daß sie also selbst eine Grenze besitzen. 
Überschreiten die Glieder von (af) schließlich jede noch so groß 
festgesetzte positive Zahl k, oder sinken sie unter — k, so sagt man, 
die Grenze von a n sei positiv unendlich (-+- oo oder kurz oo), bzw. 
negativ unendlich (— oo) und drückt dies durch die Ansätze 
lim a n = oo, lim a n ^= — oo (2) 
n = co n = co 
aus. Die Zahlenfolge heißt dann (eigentlich) divergent. 
Es kann schließlich geschehen, daß a n weder einer Grenze zu 
strebt noch unendlich wird; man nennt dann die Zahlenfolge (a n ) un 
eigentlich divergent.