32 Unendliche Reihen und Produkte. § 1. Grundlegende Begriffe. 
Nur eine konvergente Zahlenfolge definiert eine bestimmte Zahl. 
Die Zahlenfolge (a n ) soll monoton genannt werden, wenn ihre 
Glieder, wenigstens von einem bestimmten angefangen, niemals ab- 
nehmeu oder niemals wachsen. 
Bei einer monotonen Zahlenfolge kann nur zweierlei stattfinden: 
Ist sie zunehmend, so kann das Wachsen der Glieder über jede Schranke 
hinausgehen (lim a n = oo) oder gegen eine bestimmte Grenze hin er 
folgen; ist sie abnehmend, so können die Glieder schließlich unter 
jede Schranke fallen (lim a n = — oo) oder aber einer Grenze sich 
nähern. Für die Beurteilung ist der folgende Satz von Nutzen. 
Wenn die Glieder einer monoton zunehmenden Folge unter einer 
festen Zahl G bleiben, so haben sie notwendig eine Grenze; gleiches gilt 
für die Glieder einer monoton abnehmenden Folge, trenn sie über einer 
festen Zahl g bleiben. 
Bliebe nämlich immer, wie groß auch n genommen wird, 
a n+p - a n > A 
so wäre auch a n + 2p - a n+p ¡> £ 
somit 
und a n+kp ^ a n -f- ks^ a n ~Jcs kann aber durch entsprechende Wahl 
von k größer als G gemacht werden; dann aber wäre a n + kp > G, 
gegen die Voraussetzung. Es muß also schließlich a n+ ' p — a n <£ 
werden, und damit ist die Konvergenz bewiesen. Ähnlich wäre der 
Beweis für den andern Fall zu führen. 
26. Unendliche Reihen 1 ). Begriff* der Konvergenz und 
Divergenz. Es sei a 1} a 2 , a 3 , . . . eine unbegrenzt fortsetzbare Folge 
reeller Zahlen; man bilde aus ihr eine neue Folge s l7 s 2 , s 3 , ... s n . . ., 
indem man aus den ersten 1, 2, 3, . . . n . . . Gliedern die Summe nimmt: 
(1) 
s„ = + a n == a x + a 2 + • • • + a n . 
Ist die Zahlenfolge s 17 s 2 , s 3 , . . ., kurz (s n ), konvergent, so nennt 
man auch die unendliche Reihe 
«i+ « 2 + a 3 -1 , kurz f£a n , 
(2) 
1) Die Einführung unendlicher Reihen in die Mathematik reicht ins 17. Jahr 
hundert zurück; ihre richtige Behandlung lehrte aber erst das vorige Jahrhundert.