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Unendliche Reihen und Produkte. § 1. Grundlegende Begriffe.
Reihe, die mit der ursprünglichen zugleich konvergent oder divergent
ist; denn die Partialsummen 4, 4, 4 ? • • • von (6) bilden die Zahlen
folge
S n + 1 S n’ S n + 2 ~~ S n1 S « + 3 S n1 ■ ’ '}
deren Grenze s — s n ist, wenn die Reihe (2) konvergiert, dagegen un
endlich oder unbestimmt, wenn (2) divergiert.
Dieser Umstand gestattet es, hei der Prüfung einer Reihe auf
ihre Konvergenz beliebig viele Anfangsglieder fortzulassen.
2. Da bei einer konvergenten Reihe die Bedingung (4*) durch
Wahl von n hei beliebigem p erfüllt werden kann, so besteht dann
auch die Beziehung
Ki< £ - CO
Bei einer konvergenten Reihe kann man also in der Folge der
Partialsummen so weit fortschreiten, daß der zugehörige Rest dem
absoluten Werte nach unter eine im voraus beliebig klein festgesetzte
positive Zahl herahsinkt.
Diese Zahl s bezeichnet dann auch die Schranke, unter welcher
der Fehler liegt, den man begeht, indem man statt der unendlichen
Reihe deren Partialsumme s n nimmt.
GO
3. Besteht die Reihe 2 a n aus lauter positiven Gliedern, und ist
i
sie konvergent, so ist auch jede Reihe konvergent, die aus ihr durch
Unterdrückung einer durchlaufenden Folge von Gliedern (z. B. jedes,
zweiten, dritten Gliedes oder dgl.) entsteht.
Denn, ist die Bedingung
a n +1 + a n + 2 + 1" a n + p < £
erfüllt, so bleibt sie es auch dann, wenn auf der linken Seite Glieder
ausfallen.
4. Besteht die Reihe 2 a n aus lauf er positiven Gliedern, und ist
]
sie konvergent, so ist auch jede Reihe konvergent, die aus ihr ent
steht, indem man bei einer durchlaufenden Folge von Gliedern das
Zeichen ändert.
Denn, ist die Bedingung
a n +1 + a n + 2 + • • • + a n+p < e
erfüllt, so bleibt auch nach Änderung des Zeichens einiger (oder aller)
Glieder
I a n +1 + a n + 2 p 1" a n+p i < £ }
weil | a n+1 + a n+2 -f • — + a n+p | | a n+1 1 + \a n+2 1 ~\ H I a n+ P 1
5. Ist die Reihe 2 a n konvergent und s ihre Grenze, so ist auch
00 1
die Reihe (k =f= 0) konvergent und Jcs ihre Grenze.
