Allgemeine Kriterien, 
35 
Hat nämlich s n die Grenze s, so hat ks n die Grenze ks. 
Divergiert hingegen die erste Reihe, so divergiert auch die zweite. 
Denn mit s n hat auch ks n eine unendliche oder eine unbestimmte 
Grenze. 
6. Sind die Reihen 2] a n imc ^ S h n konvergent gegen die Gren- 
i i 
zen s und t, so sind auch die Reihen 
JZK+K), 2(«*- K) 
i i 
konvergent und haben die Grenzen s + t, bzw. s —t. 
Denn mit s n — s, t n — t werden gleichzeitig auch 
S n + K — ( S + t), S n — t n — {s— t) 
beliebig klein. 
28. Beispiele. I. Es sei a 1} a 2 , a 3 , . . . eine unbegrenzt fort- 
setzbare Folge reeller Zahlen, und man bilde aus ihr die neue Folge 
CC-i (Xn. Ctn 
CCn > CLq — CCo OC* 
V 1 “1 ^2; w 2 2 ^3; w 3 “3 ^4? * • 
co 
dann hat die Reihe ^ a n die allgemeine Partialsumme 
i 
S„ — ai — er ,,: 
n i n + n 
ist also die Zahlenfolge ([cc n ) konvergent und a ihre Grenze, so ist 
co 
auch die Reihe konvergent und 
i 
s = a x — u 
ihre Grenze; insbesondere ist s = a x , wenn a = lim a n = 0 ist. 
71 = oo 
Spezielle Fälle. 1. Aus der Zahlenfolge ^1, * , *, • • die Null 
zur Grenze hat, entsteht auf dem beschriebenen Wege die Reihe 
- - -j- 1 -f ——. 
12'2-3'3-4' 5 
die konvergent ist und a x — 1 zur Grenze hat, so daß man schreiben 
kann: <» 
y— 1 . 
J n{n-\-1) 
1. 
(8) 
2. Die ebenfalls gegen Null konvergierende Zahlenfolge 
(l - 1 - 1 - ■ • ■] 
\ ’ 3 7 5 ’ 7 > ) 
führt zu der Reihe 
2 2 2 
— 4. — -f _ 4. 
l-3'3ö'5-7~ 
deren Grenze 1 ist, so daß (27, 5.) 
oo 
V. 
(2 n — 1) (2 n 4-1) 
1 
(9) 
3*