Geometrische und harmonische Reihe. 
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Konvergenz hinreichend gehalten wurde — Divergenz vorhanden sein 
kann, ist die harmonische JFteihe 
CO 
1 + Y + 3 + 4 + * "» kurZ 2~n ’ ( U ) 
1 
Es ist nämlich 
1 . _J__ + 1 i . . . 1 >i__L = i 
« ' w -j- 1 ' n -f- 2 ' w 2 n w 2 7 
weil die rechte Seite aus der linken hervorgeht, wenn man in dieser 
vom zweiten Gliede an alle Glieder dem letzten, dem kleinsten, gleich 
macht; wie groß also auch n sein möge, immer läßt sich eine Gruppe 
aufeinander folgender Glieder 
a 'n + a n +1 + h «„2 
konstruieren, deren Summe 1 übersteigt; die allgemeine Bedingung 
der Konvergenz ist mithin nicht erfüllt. 1 ) 
Ein anderer Weg, die Divergenz dieser Reihe zu erkennen, be 
steht in folgendem. Man kann die um das erste Glied gekürzte Reihe 
2 
1 i.'= — + — + — -f 
n 2 3 ' 4 ~ 
umformen in 
und sodann zerfallen in 
J - + - 2 - + ^- + 
1-2 '2-3 ‘ 3 • 4 ^ 
JL J_ _i_ 
1 • 2 2 • 3 ** 3 • 4 
++ 1 + 
' 2 • 3 ~ 3 • 4 ~ 
+ 3-4 + 
Nun gibt die erste Zeile nach (8) die Summe 1, die zweite 1 — -- — 0 , 
die dritte = y, • • •, so daß man erhält 
CO CO CO 
yi_i + Vi. 
¿LJ n ¿J n JJJ n ’ 
* 2 2 1 
das Paradoxe an diesem Resultat verschwindet sofort, aber nur dann, 
® j 00 i 
wenn man Y—, also auch Y durch oo ersetzt. 2 ) 
1) Auf diesem Wege hat Jak. Bernoulli die Divergenz der harmonischen 
Reihe zuerst erkannt (Wende vom 17. zum 18. Jhrh.). 
2) Mittels dieses Paradoxons hat Joh. Bernoulli die Divergenz nach 
gewiesen.