40 Unendliche Reihen und Produkte. § 2. Reihen mit positiven Gliedern. 
hingegen sind vom zweiten an größer als die Glieder der divergenten 
harmonischen Reihe; sie ist also auch divergent. 
2. Ist das Bildungsgesetz der Beihe mit positiven Gliedern ^¡a tl 
ein solches, daß lim na n > 0 ist, so divergiert sie. 
n = cc 
Angenommen, es sei lim na n = A\ ist dann a eine Zahl, welche 
n = 00 
der Bedingung 0 < a < A genügt, so muß es einen Zeigerwert m 
geben, von dem ab na n beständig größer ist als a, so daß 
ma m > a 
(m+l)a m + i >cc 
(m + 2)a m + 2 > a 
Daraus folgt, daß von n = m angefangen die Glieder von a n größer 
sind als die entsprechenden Glieder von nun ist , also 
auch 2- n divergent, daher divergiert auch T]a n . 
Auf Grund dieses Kriteriums erkennt man, daß die Reihe 
00 y n 
^> w0 ßf Y positive Zahlen bedeuten, divergiert; denn 
ny 
an -}■ ß 
hat die über 0 liegende Grenze 
7 
Ferner erschließt man daraus die Divergenz der Reihe ^ 1 für 
n p 
0<_p<l; denn na n = n 1 ~ p wächst mit n sogar über jede noch so 
große Zahl. Es sind also beispielsweise die Reihen ^ 1 , ¿- 1 —, 
divergent. * n V n V n ~ 
3. Ist das Bildungsgesetz der Beihe mit positiven Gliedern ^a n 
ein solches, daß der Quotient eines Gliedes durch das voraus- 
a n 
gehende heim Durchlaufen der Beihe einer Grenze X sich nähert, so ist 
die Beihe honvergent, ivenn X < 1, divergent, wenn X > 1. 
Im Falle X < 1 wähle man eine Zahl q derart, daß X < q < 1, 
a n , i 
also zwischen X und 1: es muß dann von einem Zeifferwert 
• n O 
n = m angefangen notwendig kleiner als q bleiben, soll es die unter 
q liegende Grenze X haben; aus 
a 
folgt aber 
'm + 1 .. 
S~<i’ 
-1 ^ ^ 
a 
'm + 2 
a 
Hl + 1 
< q, 
a 
a 
m + 3 
‘m + 2 
< I 
-2 < a m r, a ,n + 3 < a m q 3 , 
1) Reihen dieser allgemeinen Form bezeichnet L. Euler als harmonische 
Reihen; in der Tat ist auch die gewöhnliche harmonische Reihe darin enthalten 
(ce = y = 1, ß = 0). (1734—1735.)