Spezielle Konvergenzkriterien. 
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Mit Hilfe dieses Kriteriums kann die Reihe 2, endgiltig er 
ledigt werden. Es ist nämlich 
co 
co 
2 2, ' a * v = {y + + + • • • = 1 + 2 /-i + J-1 + • • • • 
wenn p > 1; = 1, wenn p = 1; > 1, wenn p < 1. Demnach ist die 
bei p > 1, divergent bei p < 1. 
Die unter 2, 3 und 4 nachgewiesenen Kriterien stammen von 
A. Cauchy, dem Begründer der allgemeinen Reihentheorie. 
§ 3. Reihen mit positiven und negativen Gliedern. 
31. Absolut konvergente Reihen. Wenn von einer Reihe 
mit positiven und negativen Gliedern gesprochen wird, so ist damit 
gemeint, daß beide Arten von Gliedern durchgehend seien, d. h. daß 
es keine noch so ferne Stelle in der Reihe gibt, von der an nur mehr 
Glieder eines Zeichens Vorkommen. 
Co 
Hebt man in einer solchen Reihe . in welcher die a n nun- 
i 
mehr relative reelle Zahlen sind, den Zeichenunterschied auf, bildet 
GO 
man mit andern Worten die Reihe ^ i a j aus den absoluten Werten 
i 
der a n , so kann diese konvergent oder divergent sein. 
Ist 21®» konvergent, so ist es 2®« notwendig auch; denn 
(27, 4.) eine konvergente Reihe aus positiven Gliedern bleibt konver 
gent, wenn man bei einer durchlaufenden Folge von Gliedern das 
Zeichen ändert. 
Wie es sich in diesem Falle mit der Grenze der Reihe verhält, 
darüber gibt der folgende Satz Aufschluß. 
Stützt sich die Konvergenz der Reihe 2® w au f ^' te Konvergenz der 
Reihe 2 a „ \ > so ist ihre Grenze gleich der Summe der positiven Glieder 
vermindert um die Summe der Absolutwerte der negativen Glieder und 
unabhängig von der Anordnung der Glieder. 
Die positiven Glieder von 2 a n in der Reihenfolge ihres Auf 
tretens seien 
(1) 
« tfl + ®« 2 + ®«, + * * * > 
die absoluten Werte der negativen Glieder in gleicher Anordnung 
® / i 1 1 + 1 a [i. 2 +1 a fi. 3 ! + •••; 
(2)