44 Unendliche Reihen usw. § 3. Reihen mit positiven und negativen Gliedern. 
beide sind konvergent, denn jede besteht aus einer durchlaufenden 
Gliederfolge der konvergenten Reihe 2 a n \ (27, 3.). 
Eine Partialsumme s n von 2 stellt sich als Differenz einer be 
stimmten Partialsumme t rf von fl) und einer bestimmten Partial- 
summe u. von (2) dar, so daß 
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s * = **„ ~ l % ’ 
indem nun n unaufhörlich wächst, nehmen auch a u und ß y ohne Unter 
laß zu, und t a ^ Up nähern sich den Summen t, u der Reihen (1), (2) 
als Grenzen; mithin hat S n die Zahl t — u zur Grenze- Damit ist die 
erste Aussage des Satzes erwiesen. 
Nimmt man in 2 a * eine durchgehende Umordnung der Glieder 
vor, so erfahren auch die Reihen (1), (2) eine solche; da aber ihre 
Grenzen dabei keine Änderung erleiden (29, 2.), so behält auch 2^« 
die frühere Grenze s — t — u bei. 
Einer Reihe von der hier in Rede stehenden Art kommt also der 
Summencharakter zu, indem ihre Grenze von der Anordnung der 
Glieder unabhängig ist; man spricht daher hier wie bei Reihen aus 
positiven Gliedern von der Grenze als von der Summe der Reihe. 
Vorläufig sollen Reihen dieses Verhaltens als absolut konvergent 
bezeichnet werden. 
32. Nichtabsolut konvergente Reihen. Es handelt sich nun 
um den Fall, daß eine Reihe 2 a « aus positiven und negativen Gliedern 
nach Aufhebung des Zeichenunterschiedes divergent wird. Die ur 
sprüngliche Reihe selbst kann, wie sich zeigen wird, konvergent oder 
divergent sein. 
Zunächst ist unmittelbar einzusehen, daß 21 a n \ nicht divergent 
sein kann, ohne daß wenigstens eine der Reihen (1), (2) divergent ist. 
Ist nur eine von ihnen divergent, z. B. (1), dann wird t a größer 
als jede beliebige Zahl, während u^ eine Grenze besitzt; somit wird 
auch s >t beliebig groß, die Reihe 2^« ist also in diesem Falle divergent. 
Sind beide Reihen, (1) und (2), divergent, so übertreffen t a , u s 
schließlich jede noch so große vorgegebene Zahl; ihr allmähliches An 
steigen hängt aber von der relativen Häufigkeit ab, mit der positive 
und negative Glieder beim allmählichen Durchlaufen von 2 a « auf- 
treten; es ist ebensowohl denkbar, daß dieses Auftreten so geregelt 
ist, daß die Differenz t n — u. einer Grenze sich nähert, wie auch, 
7 rv 7 7 
daß die Glieder des einen Vorzeichens den andern so vorauseilen, 
daß t a( — Up v dem Betrage nach größer wird als jede beliebige Zahl. 
Uber alle diese Verhältnisse gibt der folgende Satz Aufschluß. 
Die Grenze einer Reihe ^a n , deren positive und negative Glieder 
je für sich divergente Reihen bilden, hängt von der Anordnung der