46 Unendliche Reihen usw. §3. Reihen mit positiven und negativen Gliedern. 
Man hat demnach die Reihen mit positiven und negativen Gliedern 
in unbedingt und bedingt konvergente zu unterscheiden. 
Den bedingt konvergenten Reihen geht der Summencharakter 
ah; es ist daher korrekter, hei ihnen nur von einer Grenze statt von 
einer Summe zu reden. 
33. Alternierende Reihen. Yon den Reihen mit positiven 
und negativen Gliedern heißen diejenigen, in welchen auf ein positives 
immer ein negatives Glied folgt, und umgekehrt, cdternierende Reihen. 
Bei diesen gibt es einen Fall der Konvergenz, der an einem sehr ein 
fachen Kriterium zu erkennen ist; er ist durch den folgenden Satz 
gekennzeichnet: 
Wenn die Glieder einer alternierenden Reihe dem Betrage nach 
beständig abnehmen x ) und überdies die unerläßliche Bedingung der Kon 
vergenz lim a n = 0 erfüllen, so ist die Reihe konvergent. 1 2 ) 
n = CO 
Aus der abnehmenden Folge positiver Zahlen a 1} a 2 , a s , • ■ • sei 
die Reihe 
00 
2 (— 1 ) n ~ x a n = a i — a 2 + «3 — »4 H • 
i 
gebildet. 
Die Beziehungen 
5 2w + 1 ~ 5 2w-1 i a 2n a 2n +1) 
s 2n+i =“ ( a i ~ a 2) + (« 3 — af) -j- • • ‘ + (®a«-l ~ a 2») + a 2n+l 
lehren, daß die ungeraden Partialsummen s l7 s 3 , s 5 , • • • eine ab 
nehmende Folge positiver Zahlen bilden, die notwendig eine Grenze, 
lim s 2 « +1 > hat. 
n — 00 
Die Beziehungen 
S 2 n = S 2 n - 2 "F i a 2n-l a 2n) 
S 2 n= a i ~ («2- a 3 ) - («4~ « 5 ) i tt 2n-2 ~ «2„-l) - a 2n 
zeigen, daß die geraden Partialsummen s 2 , s 6 , • • • eine zunehmende 
Folge positiver Zahlen bilden, die jedoch unter der Zahl % bleiben, 
mithin notwendig eine Grenze, lims 2n , besitzen. 
n = cc 
Da aber 
S 2« + l = S 2n ”h a 2n + l > 
so sinkt der Unterschied s 2w+1 — s 2n = « 2n+1 mit wachsendem n unter 
jede noch so kleine Zahl, s 2n + 1 un( ^ s 2n haben also nicht verschiedene, 
00 
sondern eine und dieselbe Grenze s, die auch der Reihe 
1 
zugehört. 
1) Oder wenigstens von einer Stelle ab niemals zunehmen. 
2) Dieses Kriterium hat Leibniz schon 1714 nachgewiesen.