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Unendliche Reihen und Produkte. § 4. Unendliche Produkte. 
positive Zahl. Unabhängig von dieser kann man (3) durch die einzige 
Forderung 
- 1 | < * (3*) 
ersetzen. 
Auf den Fall r = 1 angewendet führt dies zu dem Ansätze 
\a n+1 -l\<8, (4) 
welcher besagt, daß die Faktoren eines konvergenten Produkts schließ 
lich um beliebig wenig von der Einheit, dem Modul der Multipli 
kation, verschieden sind, analog wie sich die Glieder einer konvergenten 
Reihe schließlich beliebig wenig von Null, dem Modul der Addition, 
unterscheiden. 
Schreibt man, von der Beziehung (4) Gebrauch machend, die Fak- 
cc 
toren a n in der Form 1 -f- das Produkt also in der Form ]~Jj{ 1 + a ), 
so drückt sich nunmehr die zur Konvergenz notwendige Bedingung 
dahin aus, daß die Zahlenfolge a 1} cc 2 , or 3 , • • • eine Elementarreihe, 
d. h. lima w =0 sein müsse; hinreichend aber ist diese Bedingung 
n— oo 
nicht. Die Bedingung (3*) stellt sich jetzt in der Form 
n + r 
/7(1 + <0 -11 <« (3«) 
i « +1 
n + r 
dar; 77(i + a v ) nennt man ein Restprodukt, für r = oc wird es zu 
n +1 
dem Restprodukt, das zum Fartialprodukt p n gehört. 
00 
Ein unendliches Produkt JJ[ (1 + <x n ) führt zu der unendlichen 
i 
00 
Reihe ^log(1 + a n ) der Logarithmen seiner Faktoren; Konvergenz 
i 
oder Divergenz des einen Gebildes zieht notwendig die analoge Eigen 
schaft des andern nach sich. 
36. Konvergenzkriterien. Sind in dem Produkt IJ{ 1 + a n) 
alle cc n > 0, so sind alle Faktoren unechte Brüche, der Wert des 
Produkts, wenn es konvergiert, wird selbst auch > 1 sein, im andern 
Fall ist er unendlich. 
Sind alle cc n < 0, also alle Faktoren echte Brüche, so wird bei 
einem konvergenten Produkt dessen Wert selbst auch < 1 sein; im 
andern Falle ist er Null. 
Gibt es positive und negative a n in unbegrenzter Anzahl, so kann 
jeder der unterschiedenen Fälle eintreten.