Spezielle Konvergenzkriterien. 
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Näheres hierüber lehren die folgenden Sätze; 
CO 
1. Sind alle a n > 0, so ist das Produkt /7(1 4 a n ) konvergent, 
i 
CO 
wenn die Eeihe 2 a n konvergiert, und seine Grenze dann unabhängig 
i 
von der Anordnung der Faktoren; hingegen divergent und sein Wert oo, 
ivenn die Peihe divergiert. 
Aus der Entwicklung des Restprodukts 
n+r 
/7(1 + «,.) = 1 + «a + 1 + «„+2 + • • • + «n + r + 
n+1 
worin S die Summe der Produkte der a zu zweien, dreien, • • • ver 
tritt, geht hervor, daß 
n + 
77(1 + «,,) — 1 > a n+1 + cc n+2 4 • • • 4 «n+r; 
n4l 
CO 
ist nun die Reihe divergent, so kann die rechtsstehende Summe 
i 
durch Wahl von n und r beliebig groß gemacht werden, die Be 
dingung (3**) ist also nicht erfüllt; da ferner p n mit n wächst, so 
ist p = oo. 
Ist hingegen ^a n konvergent, so kann zu dem positiven echten 
Bruch q ein hinreichend großes n derart bestimmt werden, daß bei 
beliebigem r 
««+1 + «n + 2 4 • • • 4 «„+,.< q 
sei; das hat zur Folge, daß für die in S enthaltenen Produktsummen 
S 2 , S 3 , • • • S r von 2, 3, • • • r Faktoren folgende Beziehungen bestehen. 
$2 < («»+i 4 • • • 4 a n+r ) 2 < q 2 
$»<(«„+! + • • • + «* + r) 3 < 2 3 
S r < (<x n + 1 4 • • • + a n+r Y< q r , 
weil die Potenzen außer den gedachten Produktsummen noch andere 
positive Glieder umfassen. Demnach ist jetzt 
JJ (! + <0 -l<34i 2 4--.4f = T—f— < IZ4? 
n + l 1 ® 
wählt man also q derart, daß < s, wozu nötig ist, daß q < — 8 
l q 07 1 4 e 
genommen werde, so wird auch 
n + r 
/7(1 + 0- l<«; 
n+1 
die Konvergenzbedingung ist also tatsächlich erfüllt.