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Unendliche Reihen und Produkte. § 4. Unendliche Produkte. 
Da die konvergente Reihe aus den Logarithmen der Faktoren, 
00 
^log (1 + cc n ), im gegenwärtigen Falle aus lauter positiven Gliedern 
1 
besteht und darum unbedingt konvergent ist, so gilt die gleiche 
Aussage für das Produkt; es kommt ihm die kommutative Eigen 
schaft des endlichen Produkts zu. 
GO 
2. Sind alle a n > 0, so ist das Produkt /7(1-«.) konvergent, 
oo 1 
wenn die Beihe 2*, konvergiert, und seine Grenze dann unabhängig 
i 
von der Anordnung der Faktoren; hingegen divergent und sein Wert 
Full, wenn die Beihe divergiert. 
1 — a 2 ^ 
Wegen 1 — cc„ = ¡- ” ■ < t— ist auch 
& n 1 4- a 1 4- a 
‘ U 1 n 
Pn ^ n ' 7 
7? 1 + «,) 
i 
divergiert nun a n , so wächst der Nenner rechts über jeden Betrag, 
folglich wirdmit wachsendem n beliebig klein, also ist jö = limj9 OT = 0. 
Mit den vorhin benutzten Bezeichnungen ist jetzt das entwickelte 
Restprodukt 
— = 1 — (« M+1 + ß n + 2 + +a„ + r ) + 'S 3 —S 8 H P(— l) r 8 rJ 
n + 1 
und wenn cc n konvergiert, kann n so gewählt werden, daß 
K n + i + a n + 2 + • • • + a n+r < Q. < 1 ist; dann wird a ^ er 
n + r 
1 - JJ (f - «,) < q + cf + . . . + q r = ^ < £, 
n + 1 
wenn 
V<T+ 
genommen wird. 
Die Konvergenzbedingung für 
/7(1- a n ) ist also erfüllt; die Unabhängigkeit des Wertes von der 
Anordnung der Faktoren ergibt sich durch denselben Schluß wie vorhin. 
3. Sind die a n teils positiv, teils negativ, beides in unbeschränkter 
co 
Anzahl, so ist das Produkt /7(1 + cc n ) konvergent und sein Wert un- 
i 
go 
abhängig von der Anordnung der Faktoren, wenn die Beihe ^ cc n un 
bedingt, d. h. vermöge der Konvergenz von a n , konvergiert. 
1 
Das Partialprodukt p n wird jetzt zum Teil aus Faktoren von der 
Form 1 + a v zum Teil aus Faktoren der Form 1 — a j bestehen; ihre 
Anzahlen seien n, n", ihre Produkte p , } jp"„; dann ist 
p = p,p „ 
Ar n A- n XT n