Spezielle Konvergenzkriterien. 
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Weil nun bei der vorausgesetzten Konvergenz von ^ a n | die beiden 
2* und ^ ccj konvergent sind (31), so streben p' n >, p„” bestimmten 
von der Faktorenanordnung unabhängigen Grenzen p, p" zu, daher 
besitzt auch p n eine von der Reihenfolge der Faktoren unabhängige 
Grenze j?, nämlich p = p'p"’. 
Anmerkung. Bei bloß bedingter Konvergenz der Reihe 2 cc n 
kann das Produkt £J(1 + a v ) konvergent oder divergent sein; doch 
ist Konvergenz aus der bloßen Konvergenz von 2-, a n n i c ht zu er 
schließen; findet sie aber wirklich statt, so ist sie auch eine bedingte 
in dem Sinne, daß der Wert des Produktes von der Anordnung der 
Faktoren abhängt und durch deren entsprechende Regelung jeder be 
liebig angenommenen Zahl gleich gemacht werden kann. Auf solche 
Produkte soll hier nicht eingegangen werden. 
37. Beispiele. 1. Das Produkt 
TT (i + ) — (i + &) (i + ^ 2 ) (i + ^ 4 ) • • • 
0 
ist konvergent, wenn die Reihe 
= k + № + № + k s + • • • 
o 
konvergiert; vergleicht man sie mit der geometrischen Reihe k -f- k 2 
-f k 3 -f k A . . ., die bei k \ < 1 konvergent ist, so erkennt man 
(30, 1.), daß unter der gleichen Voraussetzung auch und s0 ~ 
mit auch das vorgelegte Produkt konvergiert. 
Das Partialprodukt 1 ) 
P. +l - (1 + ») (1 + * 2 ) (1 + V) • ■ ■ (1 + * ! ”) 
- x + & + *> + ••• + r" +, -'= 
konvergiert denn auch tatsächlich, wenn | k <1, gegen die Grenze 
k-iAs- 
2. Die Produkte 
J7( 1+ I)-( 1+ *)( 1 +t)( 1 +t)- 
i 
i 
1) Von der Richtigkeit der Entwicklung überzeugt man sich durch die 
Erwägung, daß n -{- 1 Binome tatsächlich ein Produkt aus 2”+ 1 Gliedern geben, 
wenn, wie hier, Reduktionen ausgeschlossen sind.