58 Der Funktioasbegriff. § 1. Funktionen einer und mehrerer Variablen. 
6. P = n\ ist eine Funktion der unstetigen Variablen n, deren 
Gebiet die Reihe der natürlichen Zahlen ist. 
II. Der Funktionsbegriff in der eben erörterten Form, geknüpft 
an das Vorhandensein eines arithmetischen, die Variable x enthaltenden 
Ausdrucks, war lange Zeit hindurch herrschend, nachdem ihn Euler 
zur Grundlage einer Funktionentheorie gemacht hatte. Die weitere 
Entwicklung der Mathematik und ihre fortschreitende Anwendung auf 
die Darstellung der Naturerscheinungen veranlaßte aber eine Er 
weiterung, die von der Existenz eines arithmetischen Ausdrucks ab 
sieht und das Hauptgewicht legt auf den Gedanken der Zuordnung. 
So hat denn Dirichlet in der allgemeinsten Weise y als eine Funktion 
von x in dem Intervall (a, b) definiert, wenn jedem Werte von x aus 
diesem Intervall ein und nur ein bestimmter Wert von y zugeordnet ist. 
Benutzt man als symbolischen Ausdruck dieser Definition auch 
wieder den Ansatz (1), so besteht der Unterschied in der Deutung 
dieses Ansatzes in folgendem: Früher vertrat das Funktionszeichen f 
einen bestimmten Komplex von Rechenoperationen, die unter Einbe 
ziehung von x ausgeführt werden, jetzt vertritt es ein Zuordnungs 
gesetz; denn nur ein Gesetz ist imstande, die Gesamtheit der Zuord 
nungen zu regeln. 
Unter diesen allgemeinen Funktionsbegriff fallen nicht bloß die 
arithmetisch definierten Funktionen unter I, sondern auch Funktionen, 
die abteilungsweise durch verschiedene arithmetische Ausdrücke ge 
geben sind; es fallen darunter ferner die trigonometrischen Funktionen 
auf Grund ihrer geometrischen Erklärung, wiewohl diese noch keine 
Rechen Vorschrift an die Hand gibt, nach der zu einem beliebigen 
Winkel der Sinus, Kosinus usw. berechnet werden kann. 
Die Frage, ob jedem Zuordnungsgesetz auch eine arithmetische 
oder allgemeiner eine analytische Darstellung entspricht, läßt eine ab 
schließende Antwort nicht zu; man kann nur darauf hinweisen, daß 
es gelungen ist, auch sehr komplizierte Zuordnungen analytisch aus 
zudrücken. 
Während bei einer durch einen Ausdruck gegebenen Funktion 
der Bereich der Variablen x aus dem Bau dieses Ausdrucks zu er 
schließen ist, wird bei allgemeineren Definitionen zumeist der Bereich 
vorher bezeichnet, für den die Definition gelten soll. 
Zur näheren Erläuterung folgen wieder einige Beispiele. 
1. In dem Intervall — 1 <[ x 1 sei fix) durch folgende Fest 
setzungen definiert: 
fix) = |- -p 1, so lange — 1 x ^ 0 
fix) = — x -f 1, so lange 0 < x <| 1. 
Wir haben es hier mit einer abschnittweise arithmetisch definierten