60 Der Funktionsbegriff. § 1. Funktionen einer und mehrerer Variablen. 
von 7t wird und bleibt, wenn k noch weiter zunimmt; sgn 0 ist aber 
0; bei irrationalem x tritt aber dieser Fall nie ein, sin JcItzx behält 
immer einen von Null verschiedenen, das Quadrat einen positiven 
Wert, dessen sgn-Wert 1 ist. 
Y 
4, In dem Intervall — 1 < x 1 sei 
f(x) durch | x 1 definiert. Das geometrische 
Bild dieser Funktion besteht in den begrenzten 
Schenkeln eines rechten Winkels, Fig. 10. Mit 
Hilfe von sgn x kann diese Funktion auch durch 
f{x) = x sgn x, — 1 x 1 
dargestellt werden. 
5. Die durch das Potenzsymbol a x ausgedrückte Zahl kann nur 
dann eine durchwegs reelle Funktion darstellen, wenn a > 0 ist. Für 
ganze Werte von x ergibt sich die Eindeutigkeit aus dem primären 
Potenzbegriff; für gebrochene x ist a x durch den erweiterten Potenz 
begriff (16) bestimmt und eindeutig, sofern man den einzigen posi 
tiven Wert der Wurzel meint. Ist endlich x eine irrationale Zahl 
und {x Q , x X) x 2 , • ■ •) eine sie definierende Fundamentalreihe, so ist 
auch (a x o, a x i, a x i, . . .) eine Fundamentalreihe * 1 ), und unter a x soll die 
ihr zugeordnete Zahl verstanden sein. 
Mit diesen Festsetzungen ist also f(x) = a x eine eindeutige reelle 
Funktion von x und wird Exponentialfunktion genannt. 
III. Die angewandten Gebiete führen zu empirischen Funktions 
bestimmungen, die aber nicht als Funktionsdefinitionen in dem bis 
herigen strengen Sinne gelten können. So fehlt es einer graphisch, 
durch einen Linienzug gegebenen Funktion an der notwendigen Be 
stimmtheit, indem die zu einer scharf bestimmten Abszisse gehörige 
Ordinate innerhalb gewisser Grenzen unbestimmt bleibt; statt einer 
Funktion ist ein Funktionsstreifen gegeben. Einer tabellarisch, durch 
eine Auswahl zugeordneter Wertepaare, dargestellten Funktion mangelt 
1) Um dies zu erweisen, machen wir die bestimmte Annahme, es sei a )> 1 
und die Fundamentalreihe (x ) monoton zunehmend. Alsdann läßt sich n ohne 
N TV 
Rücksicht auf p so wählen, daß x — x 1 , wobei v eine beliebig große 
r n+p n V 
natürliche Zahl bedeutet; daraus folgt für solche n die Beziehung 
a x n + p _ ( fn = a *n (f /n +p-*H _ 1}< a X n (a p _ 1} _ 
Aus der für positive S geltenden Relation (28) (1 -j- S) v O l-f-vd ergibt sich aber 
1 
(1 -(- vd) v 1 -J- d; ersetzt man hier 1 -j- vS durch a, so kommt man zu der Be- 
1 1 
ziehung a»' — 1 <( a -, mit welcher schließlich a n+p —- a M <a n wird; 
p v 
daraus geht aber hervor, daß tatsächlich a n+p —a n durch Wahl von n beliebig 
klein gemacht werden kann.