Explizite und implizite Funktionen. 
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der Variablen als von einem Funkte im n-dimensionalen Raume JR n 
zu sprechen und zu sagen, w sei für diesen ganzen Raum oder einen 
Teil desselben als Funktion von x x , x 2 , . . . x n definiert, in Zeichen: 
w = f(x x , x 2 , ... x n ), (4) 
wenn jedem Punkte ein bestimmter Wert von w zugeordnet ist. 
Hiernach ist beispielsweise w — x x -f- 2x 2 -f- 3x s + 4# 4 + 5 im ganzen 
jB 4 ; w ==Y 1 — x\ — x\ — x\ — x\, die Wurzel positiv genommen, nur 
in jenem Teil definiert, in welchem x\ + x\ + x\ -f- x\ ^ 1 ist. 
41. Implizite Punktionen. I. An einer früheren Stelle ist der 
geometrischen Zuordnung der Werte zweier Variablen x, y durch eine 
Kurve die arithmetische Zuordnung durch eine Gleichung gegenüber 
gestellt worden. Auf diesen letzteren Modus soll nun etwas näher 
eingegangen werden. 
Es sei F(x,y) ein durch eindeutige arithmetische Operationen aus 
x, y gebildeter Ausdruck; durch ihn ist auf der ganzen Ebene oder 
einem Teile derselben eine Funktion der Variablen x, y definiert; der 
Ansatz 
Fix, y) = 0 (5) 
kann als Forderung aufgefaßt werden, jene Stellen der Ebene zu be 
stimmen, an welchen die genannte Funktion den Wert Null hat. Diese 
Bestimmung kann in der Weise erfolgen, daß man der einen Variablen, 
z. B. x, einen beliebigen Wert erteilt und prüft, welcher Wert von y 
ihm auf Grund der Gleichung (5) zugeordnet ist. 
Findet man, daß zu jedem Werte x aus einem Intervall a < x ^b 
(oder auch nur a < x < b) ein bestimmter reeller Wert von y gehört, 
so ist durch (5) y in dem bezeichneten Intervall als Funktion von x 
definiert. Eine derart gegebene Funktion nennt man eine implizite 
Funktion zum Unterschiede von der expliziten, wie sie in 39 an erster 
Stelle erklärt worden ist. 
Ist die Gleichung (5) in bezug auf y allgemein, d. h. ohne Spe 
zialisierung des x auflösbar, so kann von der impliziten Definitions 
form F{x, y) = 0 zur expliziten y = f{x) übergegangen und unmittel 
bar entschieden werden, ob und in welchem Bereiche y als reelle 
Funktion existiert. 
Formal steht nichts im Wege, den Wert von y beliebig anzu 
nehmen und auf Grund von (5) nach dem zugeordneten Werte von 
x zu fragen. Doch brauchen nicht beide Auffassungen zu wohl 
definierten Funktionen zu führen. 
Die Variable, deren Werte man beliebig (eventuell unter Be 
schränkung auf ein Intervall) annimmt, nennt man die unabhängige, 
die andere die abhängige. Abhängige Variable und Funktion sind 
also adäquate Begriffe. 
Zur Erläuterung mögen folgende Beispiele dienen.