64 Der Funktionsbegriff. § 1. Funktionen einer und mehrerer Variablen. 
1. Ans der Gleichung 
ay + hx 2 + cx + d = 0 
ergibt sich durch Auflösung nach y: 
hic 2 4- cx 4- d 
y = , 
v a 7 
wodurch y als Funktion der unbeschränkten Variablen x bestimmt 
ist. Die Auflösung nach x hingegen gibt: 
x = 
— c + — ih{ay -f- d) 
2h 
und dies ist zweideutig, indem im allgemeinen zu jedem Werte von 
y zwei verschiedene Werte von x gehören; doch sind die beiden Lö 
sungen deutlich von einander unterschieden durch das Vorzeichen der 
Wurzel; ihre Realität erfordert, daß 4h(ay -f d)<ic 2 oder y — sei. 
Während also die an die Spitze gestellte Gleichung y als Funktion 
der unbeschränkten Variablen x definiert, bestimmt sie x in zwei- 
c a 4h d 
facher Weise als Funktion von v in dem beschränkten Gebiet y < ——j— ■ 
J J = 4ab 
Insofern aber diese zwei Bestimmungen aus einer Gleichung hervor 
gehen, bezeichnet man sie als Zweige einer zweideutigen Funktion. 
2. Durch die Gleichung 
V 1 -f y 2 + a 2 = 0, 
in der a eine reelle Zahl bedeuten soll, ist weder y noch x als Funktion 
definiert, da sie keine reelle Wertverbindung dieser Variablen zuläßt. 
3. Die Gleichung x 2 -\-y 2 = 0, die nur durch x = 0, y = 0 be 
friedigt wird, bestimmt allerdings die eine der beiden Zahlen als 
Funktion der andern, aber jedesmal für einen Bereich, der nur aus 
einem einzigen Wert besteht. 
II. Eine Gleichung zwischen drei Variablen x, y, z bestimmt im 
allgemeinen eine derselben als implizite Funktion der beiden andern; 
so wird aus 
Fix, y, ¿) = 0, (6) 
wenn man x, y innerhalb eines entsprechenden Gebiets als unabhängig 
veränderlich ansieht, z als Funktion dieser beiden hervorgehen. 
Allgemein, durch eine Gleichung zwischen n -f 1 Variablen ist im 
allgemeinen eine jede derselben als Funktion der n übrigen definiert, 
z. B. durch 
F{x v x v ■ • • x n , u) = 0 (7) 
n als Funktion von x v x 2 , ■ ■ • x n . Ist die Bestimmung eine mehr 
deutige, so wird vorausgesetzt, daß es möglich sei, sie in mehrere ein 
deutige Zweige aufzulösen.