68 Der Funktionsbegriff. § 1. Funktionen einer und mehrerer Variablen. 
und das 
Stellung 
geometrische Bild in demselben Koordinatensystem zur Dar 
bringen wie das Bild AB, Fig. 12, von / so braucht man 
AB nur durch Spiegelung an der Linie OH, 
welche den Winkel XOY halbiert, zu trans 
formieren; die neue Linie A 1 B 1 ist das Bild 
YOn y = Cp (x). 
3. Eine in dem Intervall (— a, a) oder 
auch (— oo, oo) definierte Funktion heißt 
eine gerade Funktion, wenn /(— x) = /(sc)] 
hingegen eine ungerade Funktion, wenn 
/(- x ) = -/oo* 
Die erste Eigenschaft kommt einer geraden Potenz von x zu, weil 
(— xY p =x 2p ] die zweite einer ungeraden Potenz, weil (—x) 2p+1 = — x 2pJrl -, 
daher stammen die Benennungen. 
Aus der Goniometrie ist bekannt, daß cos x eine gerade, sin x 
eine ungerade Funktion ist; denn cos (— x) = cos x, sin (— x) = — sin#. 
4. Eine Funktion f(x) der unbeschränkten Variablen, welche für 
jede zwei Werte von x, die sich dem Betrage nach um p von einander 
unterscheiden, gleiche Werte annimmt, heißt eine periodische Funktion, 
p ihre Periode. In Zeichen drückt sich die Eigenschaft in dem 
Ansatz 
/(x + p) =/(x) (11) 
aus, der für jedes x gilt. Eine unmittelbare Folge davon ist, daß auch 
f(x + kp) =/(x), 
wo k jede (positive und negative) ganze Zahl bedeuten kann. 
Unter den elementaren Funktionen sind es die trigonometrischen, 
die die Eigenschaft der Periodizität besitzen, und zwar haben sin und 
cos (ebenso sec und cosec) die Periode 2jt(360°), tg und cotg die 
Periode jr(180°); denn es ist 
sin (x + 2kn) = sin x, cos (x A 2TiTc) = cos x, 
tg (x + kn) = tg x, cotg (x + kn) = cotg x. 
Eine periodische Funktion ist zur Umkehrung nicht unmittelbar 
geeignet, weil die Zuordnung, in welcher x, y steben, nicht ein-ein- 
deutig, sondern in dem einen Sinn ein-, in dem andern unendlich 
vieldeutig ist; die Umkehrung wäre demnach eine unendlich vieldeutige 
Funktion. Durch entsprechende Einschränkung kann man aber die 
Eindeutigkeit herbeiführen. Dies wird am besten an der Umkehrung 
der trigonometrischen Funktionen zu zeigen sein, die uns zu der bereits 
erwähnten weiteren Gruppe elementarer Funktionen führen wird. 
5. Man nennt die Umkehrungen der trigonometrischen Funktionen 
zyklometrische Funktionen.