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Der Funktionsbegriff. § 2. Grenzwerte von Funktionen. 
der Mittellinie x = a angeben derart, daß der ganze Verlauf der 
Funktion, soweit er dem zweiten Streifen angebört, auch in dem ersten 
Streifen, also in dem beiden Streifen ge 
meinsamen Rechteck verbleibt; die Stelle a 
kommt dabei nicht in Betracht. 
Man sagt, /(x) habe bei dem Grenz- 
übergange lim x = a den Grenzwert oo, 
bezw. —oo, in Zeichen: 
limf{x) = oo, lim/(x) = — oo, (3) 
wenn f{x) beliebig groß, bezw. algebraisch 
beliebig klein wird, während x sich dem a 
fortwährend nähert, derart, daß zu der beliebig groß angenommenen 
positiven Zahl k eine hinreichend kleine d sich angeben läßt, so daß 
/(x)>Je, bezw. f(x)<-k, 
wenn und solange 0 < | x — a < d. 
Mitunter ist es notwendig, den Grenzübergang näher zu quali 
fizieren, insbesondere dahin, daß man zwischen einem rechten (x > a) 
und linken (x < d) Grenzübergang unterscheidet. Man bedient sich 
für diese Unterscheidung der Schreibweise 
lim/(a), 
x = a + 0 
lim _/(#); 
x = a — 0 
(5) 
im übrigen bleiben die früheren Erklärungen aufrecht. 
An den Endpunkten des Definitionsbereichs ist schon durch die 
Natur der Sache nur ein einseitiger Grenzübergang möglich, und zwar, 
wenn a < ß, bei a nur ein rechter, bei ß nur ein linker. 
45. Beispiele. 1. Die Funktion f{x) = sin-^ ist für x = 0 
nicht definiert; sie besitzt aber auch keinen Grenzwert bei lim x — 0, 
weil sie, wie nahe an Null man auch 
x annimmt, bei dem weiteren Ab 
nehmen noch unbegrenzt oft zwischen 
den Werten — 1 und 1 schwankt; 
sie nimmt diese Werte abwechselnd 
an den Stellen an, welche durch die 
Glieder der gegen Null konvergie 
renden Zahlenfolgen 
► X 
+ 
(« = 0,1,2,...) 
Fig. 17. 
(2n + 1)« 
bezeichnet sind. Man hat es hier mit 
einer Funktion zu tun, die in der un 
mittelbaren Umgebung von Null geometrisch nicht darstellbar ist; 
Fig. 17 deutet die Erscheinung, die sie hier darbietet, nur an.