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Der Funktionsbegriff. § 2. Grenzwerte von Funktionen. 
5. Die Funktion fix) — lim nX ^ r . " bietet ein Beispiel für den 
y V ’ n = <* nx +1 F 
Unterschied zwischen Substitutions- und Grenzwert. Die Substitution 
, 2 
# -) 
x = 0 gibt f(0) = 2. Bringt man den Bruch auf die Form 
£C 2 -)— 
1 n 
so erkennt man unmittelbar, daß fix) = — ist für x =4= 0; folglich ist 
lim f [x) = + oo . 
x= + 0 
6. Die Funktion fix) 
ist für x = 0 nicht erklärt, hat aber 
bei dem Grenzübergang lim x = 0 einen Grenzwert, der, weil die 
Funktion gerad ist, ebensowohl als rechter wie als linker Grenzwert 
gerechnet und durch folgende geometrische 
Betrachtung gefunden werden kann. 
Wenn man den Radius des in Fig. 20 
aus 0 beschriebenen Kreises als Längenein 
heit benützt, so ist 
BC = sin#, OC = cos#, RR = tgir, 
und es drücken sich die in steigender Größe 
geordneten Flächen der Figuren A 0 GR, 
Fig. 20. 
Sektor OAB, AODB durch 
COS X sin X 
X tg X 
2’ 2 
sin X 
cos# 
. X 1 
cos x < -— < -—— 
Sin X COS X 
aus; folglich ist 
cos x sin x < x < 
i \ , X 1 
1 — COS X > 1 ; > 1 — 
Sin X COS X 
1 — cos x und 1 werden mit abnehmendem x beliebig klein, 
cos x ° 7 
X 
weil cos x der Einheit beliebig nahe kommt, daher wird auch 1 t— 
D ’ sin X 
beliebig klein; infolgedessen ist 
o io 
X ,. sin# , 
lim —— = lim = 1. 
„ n Sin X „ _ n X 
46. Grenzwerte im Unendlichen. Wenn eine Funktion für 
ein einseitig unbegrenztes Intervall, (a, oo) oder (— oo, a), oder für 
die unbeschränkte Variable definiert ist, so entsteht die Frage nach 
ihrem Verhalten bei unbegrenzt wachsendem oder abnehmendem Werte 
der Variablen oder, wie man dies auch auszudrücken pflegt, nach 
ihrem „Verhalten im Unendlichen“ oder nach ihrem „Endverlauf“.