Grenzwerte im Unendlichen. 
Man sagt von einer Funktion /(x), daß sie bei dem Grenzüber- 
gange lim x = oo den Grenzwert h habe, in Zeichen: 
lim f(x)=>b, (6) 
X — oo 
wenn die Differenz h — fix) dem Betrage nach beliebig klein wird, 
während x beständig wächst; präziser und für die arithmetische Ver 
wertung geeigneter ausgedrückt, wenn zu einem beliebig klein fest 
gesetzten positiven s eine hinreichend große positive Zahl K angegeben 
werden kann derart, daß 
’ T 
wenn und so lange x > K. b+s - - 
In geometrischer Darstellung, Fig. 21, b 
heißt dies, es lasse sich zu einem beliebig ^ £ / 
engen Horizontalstreifen der Ebene, dessen 
Mittellinie y — h ist, einö Begrenzungs 
linie x = K derart festsetzen, daß rechts — / 
von ihr die Bildkurve der Funktion jenen Fjo , 21 
Streifen nicht mehr verläßt. 
In analoger Weise ist der Inhalt des Ansatzes 
lim/(x) = h (8) 
X = — oo 
durch die Ungleichungen 
uuu 
erklärt. 
Man sagt, die Funktion habe bei dem Grenzübergange lim x = 00 
den Grenzwert 00, beziehungsweise — 00, in Zeichen: 
lim f(x) = 00, bzw. lim f{x) = — 00, (10) 
X = OO X = 00 
wenn sich zu einer beliebig groß festgesetzten positiven Zahl G eine 
hinreichend große positive Zahl K angeben läßt derart, daß 
/0*0 > K bzw - /0*0 < - g j 
wenn und so lange x > K. 
In bezug auf das geometrische Bild 5 
besagt der erste Fall, es lasse sich zu einer 
beliebig weit über der ir-Achse liegenden 
Geraden y=G eine hinreichend weit von ^ 
der -Achse nach rechts hin entfernte Ge- / 
rade x = K angeben solcherart, daß die Bild- / 
kurve rechts von der zweiten Geraden voll 
ständig über der ersten Geraden verläuft, ~q 
Fig. 22. Fig. 22.