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Der Funktionsbegriff. § 2. Grenzwerte von Funktionen. 
In ähnlicher Weise sind die Ansätze lim _/(#) = oo und lim fix) = — oo 
X — — 00 X = — 00 
zu verstehen und zu erklären. 
Es kann indessen geschehen, daß die Funktion hei dem Grenz- 
übergange lim x = oo oder lim x = — oo weder einen endlichen noch 
einen unendlichen Grenzwert in dem eben erklärten Sinne besitzt,, 
indem sie nie auf hört, zwischen zwei bestimmten oder zwischen be 
liebig weit werdenden Grenzen zu schwanken. 
Beispiele. 1. Der Quotient ^ stellt, wenn ^, eine- 
Konstante, hingegen wenn =4= , eine mit x veränderliche Funktion 
dar; diese hat für die Grenzübergänge lim x — oo und lim x = — oo 
den Grenzwert — . Denn 
c 
a ax -\-b ad — bc 
c ex -f- d c (ex -f- d) 
kann durch Wahl eines entsprechend großen, gleichgiltig ob positiven. 
oder negativen x dem Betrage nach beliebig klein gemacht werden; 
angenommen beispielsweise, a, h, c, d seien so beschaffen, daß die 
T^-r? j}- ... ... . , ... . ad—bc — cdz 
Differenz tur positive x positiv ist, so genügt es, £ > c 2 £ 
zu wählen, um jene Differenz unter das beliebig klein festgesetzte s 
zu bringen. 
2. Die Funktion fix) = pißt s i c h durch Ausführung 
(J 
der Division auf die Form Ax + B + ——bringen; infolgedessen ist. 
lim f(x) — oo sgn A, lim f{x) = — oo sgn A. 
X = oo x = — oo 
Daraus folgt, daß die reziproke Funktion cp{x) 
ax 4- ß , . 
—g i— bei 
ax* bx -j- c 
den beiden Grenzübergängen gegen 0 konvergiert. 
3. Die Funktion fix) = x sin — hat für die beiden Grenzüber- 
gänge lim x = + oo den Grenzwert 1. Um dies einzusehen, braucht 
. 1 
man sie nur in der Form 
zu schreiben und auf 45, 6. Bezug 
x 
zu nehmen. 
4. Der Endverlauf der Funktion fix) = x cos x gestaltet sich 
derart, daß sie weder einen endlichen noch den Grenzwert oo (oder 
— oo) besitzt; je größer x wird, zwischen um so weiteren Grenzen 
schwankt sie, ohne jemals aufzuhören, auch den Wert 0 anzunehmen; 
wenn sich also auch bestimmte Stellen bezeichnen lassen, an denen