Grenzwerte im Unendlichen. Die Zahl e. 
Ti 
die Funktion die beliebig große positive Zahl 6r überschreitet (bzw. 
unter — 6r fällt), so läßt sich doch keine Stelle angeben, von der 
an dies dauernd stattfindet. Man sehe 
Fig. 23 und vergleiche sie mit den Fig. 18 
und 19. 
47. Grenzwert der Punktion 
i 
f{x) = (1 + x)* für lim x = O. Die 
vorgelegte Funktion ist für alle # > — 1 
wohl definiert j 39, II, 5.], mit Ausnahme 
des Wertes x = 0. Besitzt sie bei 
lim x = + 0 einen Grenzwert, so hat sie 
denselben Grenzwert auch bei lim x = — 0. 
Denn, ersetzt man x durch — I, so wird 
_L 1 i-s 
/(- 0 - (1 - - (r^i) 7 - 9 + Ti) ! i 1 +1 
nun konvertiert 
= y mit | zugleich gegen -f 0, folglich ist 
lim/(- g) = lim (1 + y)y (1 + y) = lim/(y) . 
¿= + 0 2/ = + 0 2/ = + 0 
Es bedarf daher nur der Prüfung des rechten Grenzübergangs. 
Zu diesem Zwecke lasse man x zunächst die Zahlenfolge w0 n 
eine natürliche Zahl bedeutet, durchlaufen; es handelt sich dann um 
na — na ' ' n = rd ' ' 
Nun ist 
(l + - 1 T-l + 
\ n ] ln 
+ 
1)1 ! n (n — 1) (n ■ 
1-2 ' 1-2-3" 
n(n — 1) • • • (n — n — 1) 1 
2) 1 
+ 
1 • 2 
1 + T + 
1 • 2 
+ 
1-2-3 
n n 
+ 
1 • 2 • ■ • n ’ 
vom dritten angefangen nimmt mit wachsendem n jedes Glied dieser 
Entwicklung zu, und da zugleich die Anzahl der durchwegs positiven 
Glieder wächst, so wächst auch -f- —^ von« = 1 angefangen, ist 
aber bei jedem n )> 2 kleiner als 
+ FT 
= a.