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Der Funktionsbegriff. § 2. Grenzwerte von Funktionen. 
Die Zahlen a 2 , a s , 
bilden eine monoton zunehmende Zahlen 
folge, deren Glieder aber sämtlich unter einer festen Zahl bleiben; 
denn es ist, sobald n mindestens* 3, 
1 1 
a n < 1 + Y + T + 2* H + ¿1 = 2 + 
-I 
-r-8 + l- = <8. 
1 
2 
Folglich haben die Zahlen der Folge (a B ) eine Grenze, die zwischen 
2 und 3 liegt und fortan mit e bezeichnet werden soll; es ist also 
lim a n = e, (12) 
n = oc 
und gleichzeitig ergibt sich für e die Definition durch eine Reihe: 
(13) 
1 . i . 1 . i 
g = 1 _ _j_ __ 2 3 -f- 
you der schon die ersten zehn Glieder sieben festbleibende Dezimal 
stellen geben, so daß mit diesem Genauigkeitsgrade 1 ) 
e = 2,7182818 • • • 
gesetzt w r erden kann. 
Gegen die nämliche Grenze e konvergiert aber auch ^1 -J- • 
Denn es ist 2 ) 
1 • 2 
2 n 
2 n 
1 — — 
= 1 — 
n 
1 \ 
- ) 
f 1 
> 1 - 
n ] 
\ n) 
2 \ 
/. 3 \ 
>1- 
- ) 
n / 
\ n) 
n 1\ 
n ) 
>1- 
{n — 1) n 
2 n '■ 
folglich 
1) Auf 18 Dezimalstellen genau ist 6 = 2,718281828459045235... 
2) Sind nämlich a 2 , • • • cc n positive echte Brüche, so folgt aus (1 — aJG — a 2 ) 
= 1 — (iz, —a 2 ) -)- cc% zunächst, daß 
(1 — «!)(! — «,)> 1 — («j + «,); 
multipliziert man beiderseits mit der positiven Zahl 1 — a s und wendet rechts 
dieselbe Relation an, so entsteht 
(1 — cc t ) (1 — a g ) (1 — a s ) > [1 — («! + a,)] (1 — a 3 ) > 1 — (a, -f a 2 + a 8 ), 
so daß für jedes beliebige n 
(1 — «G (1 — «,) • • •' (1 — a n ) > 1 — (etj + a 2 -} h cc n ) y