Grenzwerte von Funktionen zweier Variablen. 
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Zeigt die Funktion ein solches Verhalten, wie es durch die An 
sätze 
fix, y) > K, bzw. /{x, y)< — K, 
wenn und so lange x — a | < <3, (?/ —• 6 | < <3 (17) 
i x — a -\- \ y — b | > 0 
beschrieben ist, die nach dem Vorausgeschickten keiner näheren Er 
klärung mehr bedürfen, so sagt mau, es sei 
lim fix, y) — oo, bezw. lim fix, y) = — oo (18) 
x = a,y=b x = a,y = b 
In einem Punkte am Rande des Gebiets muß die Umgebung so 
gehalten werden, daß sie beständig dem Bereich angehört. 
Die folgende Ausführung soll noch auf gewisse Feinheiten des 
Grenzübergangs bei Funktionen zweier (und mehrerer) Variablen auf 
merksam machen. 
Wenn für die Funktion fix, y) ein Grenzwert im Sinne der An 
sätze (15) und (16) existiert, so ist es evident, daß man ihn finden 
müsse, auf welcher Bahn auch man sich dem Punkte M unbegrenzt 
nähert. Dies könnte auf den Gedanken bringen, den Grenzwert in 
der Weise zu suchen, daß man durch M eine passend gewählte Bahn, 
z. ß. LM, führt und auf dieser dem Punkte M sich nähert. Das 
Zustandekommen eines solchen Grenzwertes gestattet keineswegs den 
Schluß, daß man damit einen Grenzwert im obigen Sinne gefunden 
habe; dieser Schluß wäre erst dann legitim, wenn man alle durch 31 
führenden Bahnen verfolgt hätte und auf allen zu dem nämlichen 
Grenzwerte gelangt wäre; denn es ist denkbar, daß man auf ver 
schiedenen Bahnen verschiedene Grenzwerte findet, dann aber existiert 
ein Grenzwert im Sinne von (15) nicht. Ein Beispiel dieser Art bietet 
die Funktion 2xy 
/&*)- 
die für alle Wertepaare von x, y definiert ist mit Ausschluß von 0,0. 
Nähert man sich dieser Stelle 0 längs eines Strahls, der mit der 
x-Achse den Winkel cp einschließt (s. die Fig.), so ist in einem Punkte 
dieses Strahls, der um r > 0 von 0 entfernt ist, x = r cos cp, y = r sin cp, 
< ^ a ^ iei f{x, y) = sin 2 cp, 
und dieser Wert bleibt erhalten, wie klein auch r wird, so daß bei 
Verfolgung dieses Strahls 
lim fix, y) = sin 2 cp . 
Da nun cp von Strahl zu Strahl sich ändert, so ändert sich auch 
lim fix, y) von Strahl zu Strahl und nimmt, während cp das Intervall 
(0, tc) durchläuft, alle Werte von 0 bis 1, 1 bis — 1 und — 1 bis 0 
an. Es existiert daher lim fix, y) nicht. 
x = 0, y = 0 
Gz über, Höhere Mathematik. 6