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Der Funktionsbegriff. § 2. Grenzwerte von Funktionen. 
so wächst, sobald y die Einheit überschritten, y n umso rascher im 
Vergleich zu y, je größer n ist. 
Sind y, Y zwei voneinander abhängige Variable, die gleichzeitig 
unendlich klein, bzw. unendlich groß werden, und hat der Quotient 
Y 
yn 
einen von Null verschiedenen endlichen Grenzwert h, so sagt man; 
Y werde in bezug auf y unendlich Mein, bzw. unendlich groß von der 
Ordnung n. Die Worte „in bezug auf y u können auch noch unter 
drückt werden, wenn man y von Anfang an als Vergleichsgröße von 
der ersten Ordnung festgesetzt hat. 
Setzt man 
r 7. i 
7~ l + v ’ 
so bedeutet y eine mit y, Y gleichzeitig gegen Null konvergierende 
Größe, das Produkt y n y = s wird also in bezug auf y von höherer 
Ordnung unendlich klein als y n \ die typische Form einer infinitesi 
malen Größe, die in bezug auf y von der Ordnung n ist, lautet sonach: 
F-fcy + e; (19) 
man nennt ky n den Hauptteil, s den sekundären Teil von Y. 
Ist 
= \y n + h 
eine zweite infinitesimale Größe derselben Ordnung, so konvergiert 
der Quotient 
Y = ky n + * = yf_ 
Y t 
K y n + £ 1 Jc t -f 
gegen die Grenze in Worten ausgedrückt: Her Quotient zweier von 
einander abhängiger Infinitesimalgrößen gleicher Ordnung hat den Quo 
tienten ihrer Hauptteile zur Grenze. 
Zur Illustration dienen die folgenden Beispiele. 
1. sin# und x werden zugleich unendlich klein, und da 45, 6. 
gezeigt wurde, daß lim sm x = 1 ist, so werden beide Größen unend- 
» = o x 
lieh klein von gleicher Ordnung. Sie streben im vorliegenden Falle 
der Gleichheit zu, weil die Grenze ihres Quotienten 1 ist. Wie rasch 
das vor sich geht, möge daraus entnommen werden, daß der Quotient 
schon bei 3° (= ^ gleichkommt 0,999542 7, und daß er bei 10' 
(= Yqsö') ^ en von 1 g anz unerheblich abweichenden Wert 0,9999940 
besitzt.