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ÜBER DIE THEORIE DER COMPLEXEN ZAHLEN. 
und, so zu sagen, ganz von selbst zu gestalten; allein bei aufmerksamer Betrach 
tung bemerkt man eine Schwierigkeit, ohne deren Beseitigung das Verfahren ganz 
illusorisch werden oder doch nur auf besondere Fälle anwendbar sein würde. 
Diese Schwierigkeit besteht in der für den Erfolg unerlässlichen Vach Weisung, 
dass die Summen gewisser Reihen, deren Convergenz leicht einzusehen ist, von 
der Null verschieden sind, und hat nicht etwa, wie man es zunächst vermuthen 
sollte, ihren Grund in der Unmöglichkeit die Summation auszuführen. Diese 
Operation ist vielmehr in allen Fällen leicht zu bewerkstelligen; allein der end 
liche Ausdruck, welchen man dadurch erhält, gewährt keine Erleichterung für 
die geforderte Nachweisung, und es ist im Allgemeinen eben so schwer aus der 
Summe in endlicher Form zu erkennen, dass sie von Null verschieden ist, als 
dies bei der ursprünglichen Reihe der Fall war. 
Nach mancherlei fruchtlosen Versuchen war es zwar gelungen, die er 
wähnte Schwierigkeit vollständig zu überwinden; doch waren die Betrachtuno-en, 
zu welchen man seine Zuflucht zu nehmen genöthigt war, so complicirt und 
indirect, dass sie nur wenig befriedigen konnten und die Auffindung eines kür 
zeren und der Natur der Sache mehr entsprechenden Verfahrens sehr wünschens- 
werth machen mussten. Wiederholte auf diesen Gegenstand gerichtete Bemü 
hungen hatten denn auch endlich den beabsichtigten Erfolg und führten zu 
dem unerwarteten Resultate, dass die erwähnten Reihen mit einer Aufgabe Zu 
sammenhängen, deren Lösung in einem der wichtigsten Theile der Zahlenlehre 
eine längst gefühlte Lücke ausfüllt. Die Theorie, von welcher wir reden, ist die 
der quadratischen Formen, welche zuerst von Lagrange begründet, später durch 
Legendre und besonders durch Gauss zu einem hohen Grade der Ausbildung 
gelangt ist. Bekanntlich sind die Eigenschaften solcher Formen hauptsächlich 
von einer durch ihre Coefficienten bestimmten ganzen Zahl, welche die Deter 
minante der Form heisst, abhängig, und Lagrange hat gezeigt, dass jeder 
Determinante, sie sei positiv oder negativ, nur eine endliche Anzahl wesentlich 
verschiedener Formen entspricht, so wie derselbe grosse Geometer auch das 
Verfahren angegeben hat, nach welchem sich für jede numerisch gegebene 
Determinante diese wesentlich verschiedenen Formen darstellen lassen. Die 
Frage nach dem allgemeinen Zusammenhänge zwischen der Anzahl der Formen 
und der Determinante wird jedoch durch die Kenntniss dieses nur in bestimmten 
Fällen auszuführenden Verfahrens nicht erledigt, und diese Frage ist es nun, 
welche in den oben erwähnten Untersuchungen ihre Lösung erhält.