Czuber, Vorlesungen. II. 
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Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 177 
Beispiele. 1) Das über das Rechteck OC, Fig. 128, aus 
gedehnte Integral der Function ff y {x, y) ergibt sich leicht in 
folgender Weise; es ist 
a b 
(00) 0 0 
a 
= f Ifx(x, h) — fx{x, 0y\dx 
0 
= f(fl, V) - f{a, 0) - f{0, h) + f(0, 0); 
in gleicher Weise ist also 
Fig. 128. 
ff ifxyix, y)dx dy = f(a, ß) — f{a, 0) — f(0, ß) + f(0, 0) ; 
(or) 
das über das hexagonale Gebiet P erstreckte Integral ist der 
Unterschied beider 
/ /y) = f ,a > 1,1 — fi a > °) — rt°j b ) — /(“, ß) 
> + /(«, 0) + /-(0, (S). 
Von dieser letzteren Formel wäre in dem Falle Gebrauch 
zu machen, wenn fx y (x, y) bei Annäherung an die Stelle 0/0 
unendlich würde, ohne sonst Unstetigkeit zu zeigen; nur wenn 
der rechtsstehende Ausdruck für beliebige Grenzübergänge 
lim a = -(-0, lim ß = -j-0 einer bestimmten Grenze sich nähert, 
hat das Integral über (OC) unter den bemerkten Umständen 
einen bestimmten Wert. 
Ein solcher Fall entsteht, wenn 
fix, y) = arctg^, 
weil dann 
fxy(x) V) 
y 2 — X i 
O 2 + y 2 ) 2 
für lim# = 0, lim?/ = 0 (y ^ 0) unendlich wird; hier ist nun 
f(a, 0) = arctgO == 0, f(0, h) = —, ebenso f(a, 0) = 0 und 
f(f>, ß) = T> fol g lic]l 
ff 
r 
(* 2 + y 2 ) 
x dxdy — arctg — 
arctg