180 
Zweiter Theil. Integral-Rechnung. 
in Bezug auf y zwischen festen oder von x abhängigen Grenzen 
ausüht und das neue Resultat schliesslich nach x zwischen 
festen Grenzen integrirt, so heisst das so entstandene Gebilde 
ein bestimmtes dreifaches Integral jener Function. Selbstver 
ständlich kann jede andere Reihenfolge der Yariabeln ein 
gehalten werden. 
Wichtiger als diese formale Entstehung ist die Bedeutung 
des Integrals als Grenzwert einer dreifachen Summe. 
Ist nämlich die gegebene Function f(x } y, z) für alle 
Werte der Yariabeln, welche die Bedingungen 
(30) 
erfüllen, also auf einem Gebiete R, das geometrisch durch ein 
Parallelepiped mit zu den Coordinatenaxen parallelen Kanten 
dargestellt ist, eindeutig und stetig, so convergirt die mit den 
arithmetisch geordneten Werten 
а ¿Cf), (¿G.) 7 ^2; (««) j ¿G7 • • • p — 21 (X2p—l); *^2p Ь 
c = yo, Ol), У2, (ys), У±,---У2 Я -2, y2q=d 
g = Z 0 , (*l), *2, (*s), &4c } • • • &2i 2; (*2r-l) , ^2r = Ъ 
gebildete dreifache Summe 
(31) (x% j у 2k—2) (%21 &21—2) f (X2J-—17 У2/С—17 %21—1 
111 
bei beständigem Wachsen der Zahlen p, g, r und beständiger 
Abnahme aller Differenzen 
x 2 j X%j — 27 У2к У2к—2, ®2l &21 — 2 
gegen Null nach einer bestimmten Grenze, und diese Grenze 
wird erhalten, wenn man auf die Function f(x, y, z) drei 
successive Integrationen in dem eingangs erwähnten Sinne aus 
übt, z. B. die erste nach z zwischen den Grenzen g, /г; die 
zweite nach у zwischen c, d; die dritte nach x zwischen a, b; 
oder in einer der noch möglichen fünf Reihenfolgen. 
Der Beweis hiefür ergibt sich durch eine Schlussreihe, 
welche der in 272 entwickelten völlig analog ist.