Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 181 
Man bezeichnet den Grenzwert von (31) durch 
(32) fj^fi x , y 7 dx dy dz 
R 
und hat hiefür nach Trennung der einzelnen Integrationen, 
wenn sie in der oben erwähnten Reihenfolge ausgeführt wer 
den, den Ausdruck 
(33) 
J^dxJ'dyJ*fix, y, z) dz. 
Diese Definition kann auch auf einen Raum R ausgedehnt 
werden, der beliebig begrenzt ist; wird die Begrenzung bei 
spielsweise durch eine in sich geschlossene Fläche gebildet, 
deren Gleichung 
(34) F(x, y, z) = 0 
ist, so kann die Auflösung in einfache Integrationen ohne- 
weiters geschehen, wenn diese Fläche von Parallelen zu einer 
der Coordinatenaxen nur zwei- 
mal getroffen wird. Gilt dies 
für die Parallelen zur z- Axe, 
so hat die erste bei festen 
Werten von x, y erfolgende In 
tegration zwischen jenen Gren 
zen zu geschehen, welche durch ^— y^—X 
die Applicaten der zu x/y ge- y^ 
hörigen Punkte M 0 , M x , Fig. 130, 
yon (34) bezeichnet sind; be 
zeichnet man diese Auflösungen von (34) nach z in steigender 
Ordnung mit (p 0 {x, y), (p x {x, y), so gibt die erste Integration 
Pi (*, y) 
fix, y, z) dz. 
<Po O, y) 
Die nun erübrigende zweifache Integration hat zum Ge 
biete jenen Th eil der xy- Ebene, welcher durch den sichtbaren 
Umriss von (34) in dieser Ebene begrenzt und analytisch 
durch Elimination Yon z zwischen (34) und 
dF 
dz 
M, \ 
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bestimmt wird (181, 6)).