Vierter Abschnitt. Anwendung der Integral-Rechnung. 195 
U 
S = a 2 J (1 — cos u) 2 du 
о 
U 
4 a 2 / sin 4 — du — 8 a 2 / sin 4 v dv 
d. i. nach einer in 252 abgeleiteten Formel 
0 9 /sin 2 и л . . 3 u\ 
8 = « \—i 2sma + — )■ 
Durch die Substitution и = 2яг erhält man die Fläche 
eines Astes der Curve 
S 0 == Зла 2 ; 
dieselbe kommt also gleich der dreifachen Fläche des erzeu 
genden Kreises. 
5) Quadratur des Gartesischen Blattes. Bezüglich dieser 
Curve, die in 126, 4) und 135, 4) discutirt worden ist, legen 
wir uns zwei Fragen vor: nach der FiK igg 
Grösse der Schleife, Fig. 138, und 
darnach, ob der zwischen dem unend 
lichen Aste und der Asymptote ent 
haltene Streifen der Ebene eine be 
stimmte Grösse hat. 
Die Lösung dieser Fragen mit 
Hilfe der Gleichung 
х ъ —• 3 axy -f- у 3 = 0 (a>0) 
in rechtwinkligen Coordinaten würde sich umständlich gestalten, 
weil die Auflösung nach у auf zusammengesetzte Wurzelaus 
drücke führt. 
Mit Hilfe der parametrischen Gleichungen, welche sich 
mittels der Substitution у = их ergeben und lauten 
3 au '¿aid 
ОС z j о У 'У з j 3 у 
1 + и 3 v 1 + и 3 
erledigt sich die Frage wie folgt. Der bewegliche Punkt be 
schreibt die Schleife im umgekehrten Sinne des Uhrzeigers, 
während и das Intervall (0, oo) durchläuft; er muss sie in 
dem entgegengesetzten Sinne durchlaufen, soll die Formel (4) 
die Fläche positiv ergeben; daher ist die Fläche der Schleife 
13* 
X 
А 
В 
~