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Zweiter Theil. Integral-Rechnung. 
Neben der mechanischen Quadratur einer gezeichneten 
Curve durch Rechnung kennt man auch eine solche mittels be 
sonderer Mechanismen (Planimeter); diese schliessen wir aus 
dem Rahmen unserer Ausführungen aus. 
I. Das nächstliegende Hilfsmittel zur Berechnung eines 
bestimmten Integrals 
6 
Cf(x)dx 
a 
ergibt sich unmittelbar aus dessen Definition (215); theilt man 
das Intervall (a, b) in n gleiche Theile h — -—- , so conver- 
girt sowohl der Ausdruck 
y=n— 1 
y. =0 
wie auch 
y. = n 
h^ f( a + * h ) 
y. = l 
für lim h = 0 (nh — b — a) gegen den durch das Integral defi- 
nirten Wert, so dass annäherungsweise gesetzt werden darf 
h 
(1) J*f(x)dx = h\_f(a) -f- f(a -j- h) -j- • • • -f- f(b — hjj 
a 
wie auch 
b 
(2) J*f{x)dx = h[f(a -f- h) -f- f(a -f- 2Ä) -f- • * • + ; 
a 
der Ansatz ist umso zutreffender, je kleiner h oder je grösser 
n genommen wurde. 
Ist y — fix) durch eine Curve dargestellt, so mögen ein 
für allemal die zu den Abscissen 
a 7 a —(— h, . . . a —f- ah,. . . 
gehörigen Ordinaten mit 
Vo ■> Vi • • • V*} ■ • ■ 
bezeichnet werden. Diese Darstellung lehrt auf einen Blick, 
dass bei einer beständig wachsenden Function die Formel (1) 
einen zu kleinen, (2) dagegen einen zu grossen Wert für das