Vierter Abschnitt. Anwendung der Integral - Rechnung. 201 
Integral liefert, und dass bei einer beständig abnehmenden 
Function gerade das Umgekehrte stattfindet. 
Daher darf man unter allen Umständen erwarten, dass 
sich das arithmetische Mittel der beiden Ausdrücke (1) und 
(2) dem strengen Werte des Integrals in stärkerem Maasse 
anpasse als jeder einzelne, dass also zutreffender 
b 
(3) ■ I f{x)dx 
= h \G£l±m + f(a + K) + f{ a + 2h) + -. + f{l-h)] 
oder in anderer Schreibweise 
(4) 
0 
J*ij dx — Ji '■ 
Vo + V n 
+ Vx + Vz + • • • + Vn—i 
gesetzt werden könne. 
Diese Formel führt aus geometrischen Gründen den Namen 
Trapezformel; denn das arithmetische Mittel aus zwei über 
einander stehenden Gliedern von (1) und (2), wie 
-1 + yy. 
h 
y*- 
0 
Fig. 140. 
!/o Ui 
y» 
!U, 
!U, 
bedeutet die Fläche des Trapezes, welches von den Ordinaten 
Vx— i, yx, Fig. 140, der Abscissenaxe und der Sehne Jf z _i, M x 
begrenzt ist. Die Formel (4) setzt 
also an die Stelle der durch die 
Curve M 0 M n begrenzten Fläche 
diejenige, welche nach obenhin 
durch das Sehnenpolygon 
MoM x ...M n 
begrenzt wird; sie gibt zu viel bei 
einer nach oben hin beständig con- 
caven, zu wenig bei einer nach 
oben beständig convexen Curve, und nur wenn Concavität und 
Convexität abwechseln, ist ein theilweiser Ausgleich zu erwarten. 
Beispiel. Zur Illustration diene das Integral 
i 
dx 
1 + x ’ 
Vn. 
h 
X 
L