Vierter Abschnitt. Anwendung der Integral-Rechnung. 217 
]/a 2 cos 2 cp -f- h 2 sin 2 cp — (a cos 2 cp -f- b sin 2 cp) 
_ a 2 cos 2 cp -f- b 2 sin 2 cp — (a cos 2 cp -\- b sin 2 qp) 2 
a cos 2 cp -j- b sin 2 cp -j- ]/a 2 cos 2 cp b 2 sin 2 cp 
sin 2 cp cos 2 cp 
(a — hy 
a cos 2 cp -\-b sin 2 cp -J- y« 2 cos 2 cp -f- b 2 sin 2 cp 
daraus folgt durch Integration von 0 bis 2n 
E — % («-{-&) 
sin 2 qp cos 2 cp dcp 
a cos 2 cp b sin 2 cp y« 2 cos 2 cp -(- b 2 sin 2 qp 
U 
woraus schon die wichtige Thatsache, dass immer E> 7c{a-\-l>) 
ist, entnommen werden kann. 
Um Grenzen für den Unterschied zu erhalten, bemerke 
man, dass *) 
= (<* - wf-\ 
< 
<4; 
2 a a cos 2 cp -(- b sin 2 <p a 2 cos 2 qp -f- b 2 sin 2 cp 2 b 
daraus ergibt sich weiter 
'¿7t 
^/ Sin2 cp cos 2 cp dcp 
</» 
sin 2 q> cos 2 cp dcp 
< 
cos 2 qo —j— & sin 2 cp -j- y'a 2 cos 2 cp -\- b 2 sin 2 qp 2 
2 7t 
— fsin 2 cp 
2 bj 
cos 2 cp dcp *, 
da nun 
2 7t 2 
J*sin 2 cp cos 2 cp dcp = 4 J sin 2 cp cos 2 cp dcp = ^ > 
0 0 
so liegt der Wert des eingeschlossenen Integrals zwischen 
n , TT 
und —r- 
8 a 8 b 
Es ist also 
n{a b) 2 -p / | tn ^ b) 2 
.... ■ <E—n{a + &)<—gj—, 
sodass 
(D) «(a + b) + -- (lJ ~ b) ‘ < E< n{a + V) + 
*) Man überzeugt sich hiervon wieder, indem man im Nenner 
einmal a für b, ein zweitesmal b für a setzt.