Vierter Abschnitt. Anwendung der Integral-Rechnung. 237 
x — r sin 6 cos cp 
y — r sin 6 sin cp 
z —r cos 6 
infolge von (6) ebenso wie r Functionen von 0 und <p; die 
drei Functionaldeterminanten lauten jetzt 
r sin 0 
sin 0 sin cp -f- r COS 0 sin (p , 1^- cos 0 
sin 0 sin cp -(- r sin 0 cos cp, cos 0 
= — r p~ sin 0 cos 0 cos q) -j- r p~ sin cp -f- r 2 sin 2 0 cos cp, 
8t » 8t» 
gg- COS 0 r Sin 0 , gg- sin 0 cos cp -f- r cos 0 cos cp 
dr 
d qp 
cos 0, 
dr 
dcp 
sin 0 cos cp — r sin 0 sin cp 
— r Pq sin 0 cos 0 sin cp r p^ cos cp -f- r 2 sin 2 0 sin cp, 
8t» 8t»» » 
gg sin 0 COS cp r COS 0 COS cp, gg- sin 0 sin cp -(- T cos 0 sin cp 
8t» » 8 t • • • 
^ sin 0 cos cp — r sin 0 sin cp, ^ sin 0 sin cp -(- r sin 0 cos cp 
— rp^ sin 2 0 -f- r 2 sin 0 cos 0; 
ihre Quadratsumme ist 
r 2 (Ih) 2 sin2 0 + r2 (i^y + sin2 e - 
Infolge dessen gilt für räumliche Polarcoordinaten die Formel 
(7) 8 + r! ] sin3 e +(fj) 2 r ie d v ■ 
Für eine sphärische Figur vereinfacht sie sich wesentlich; 
wenn nämlich r — a constant ist, so wird 
(8) S — g i n 6 ^6 dtp j 
wie auch leicht direct gezeigt werden könnte. 
290. Die Formel (2) verliert, wie aus dem Grange ihrer 
Ableitung hervorgeht, Gleitung bei einer zur z-Axe parallelen