Vierter Abschnitt. Anwendung der Integral-Rechnung. 245 
um, so kommt es, von den Grenzen abgesehen, gleich der 
Summe 
2 / }/1 JC 2 Sin 2 Cp 
dcp -(- (a 2 k 2 
1 )f-7=M 
V i/l — k 2 1 
Sin" 9 t/ |/l — & 2 sin 2 9 5 
und wenn in dem ersten Theile partielle Integration zur An 
wendung gebracht wird mit der Zerlegung ]/l — k 2 sin 2 cp, 
-f? , so hat man weiter 
sin 2 9 7 
cotg cp Y1 — k 2 sin 2 cp 
a 2 f 
J 1 
Je 2 cos 2 9 d9 
]/l — k 2 sin 2 9 
+ («»*•-i)JV= 
dep 
k 2 sin 2 9 5 
das erste der beiden Integrale zerfällt weiter durch die Um 
formung 
h 2 cos 2 cp — k 2 — 1 + 1 — k 2 sin 2 cp 
und der ganze Ausdruck verwandelt sich in 
dtp 
a 2 cotg cpY 1 — k 2 sin 2 cp —- (a 2 k 2 — a 2 ) C 
I 
— a 2 f |/l — k 2 sin 2 cp dep + {a 2 k 2 — 1) f _ 
J J V 1 — № si 
1/1- 
- k 2 sin 2 9 
r 
dcp 
sin 2 9 
— a 2 cotg cp ]/l — k 2 sin 2 cp 
+ ^ ~ vfyi'-Zzy; ~ “ ! f yi ~ 11 sinS dcp ■ 
s 
Setzt man dies in den Ausdruck für — ein, so wird 
S t (r a 5 
— = 7tau J 
2 l [_« sin cp cos 
sin 2 9 
cos 9 V1 — k 2 sin 2 9 
a 
+ (7-)/j 
cotg cp ]/l — & 2 sin 2 <pl 
Jarcsin a 
(?9 
+ a JV ] 
k 2 sin 2 cp dcp i ; 
yi — k 2 sin 2 9 
0 0 
der vom Integralzeichen freie Ausdruck nimmt an der oberen 
Grenze die unbestimmte Form oo — oo an, sein Grenzwert 
für lim op = 0 ist aber a lim — a lim -J— = 0. Demnach 
J oin m ott» m 
ist endgiltig 
cp=0 Smc P cp = 0 Smc P 
(E) 
8 — 27tab 
arcsin a 
V( i - « s )(i - f) 
arcsin a 
+ ( / - — a) i dcp + « f yr^ 
\« JJ yi — k 2 sm 2 cp J 
k 2 sin 2 cp dcp