Vierter Abschnitt. Anwendung der Integral-Rechnung. 255 
innern Anfpunkt bestimmte Werte behalten, indem sie in 
eigentliche Integrale übergehen; dagegen bleiben die Integrale 
(8) auch nach dieser Transformation uneigentlich. Greht man 
nämlich von dem gegebenen Coordinatensysteme zu einem 
parallelen mit dem Ursprünge P über, so sind |, rj, £ durch 
£ — x, rj — y, £ — 8 zu ersetzen, während dv = d^drjd^ in 
das Parallelepiped dx 1 dy 1 d8 1 der neuen Coordinaten sich ver 
wandelt; und transformirt man nun zu Polarcoordinaten, so ist 
| X — r sin 0 cos cp 
7] y — r sin 0 sin cp 
£ 8 = r cos 0 
zu setzen, während das neue Raumelement, das an Stelle von 
dv tritt (278,2)), den Ausdruck r 2 sin Q dr dQ dcp erhält. Dem 
nach wird 
(12) 
V — fyj*Q r sin 9 drdQ dcp 
und die Integrale für X, Y, Z gehen über in 
iffß sin 2 0 cos cp dr dQ dcp 
03) fff q sin 2 0 sin cp dr dQ dcp 
Uff q sin 0 cos 0 dr dQ dcp; 
das aber sind durchwegs Integrale von bestimmtem endlichen 
Werte. 
Um nun zu zeigen, dass auch bei einem innern Punkte 
die Integrale (6) oder die ihnen 
äquivalenten (13) die Ableitungen 
von V repräsentiren, schlagen wir 
folgendes Verfahren ein. Die ganze, 
einfach zusammenhängend gedachte 
Masse M, Fig. 157, werde in zwei 
Theile M 1 , zerlegt, deren zweiter 
den Aufpunkt P allseitig umgibt; 
sind V, V 1 , F 2 die Potentiale 
von M, M 1} M 2 beziehungsweise, so gilt 
V= ?i+ F i; 
Fig. 157.