Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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(5) cp{x, y, y) = 0, 
ist die besagte Differentialgleichung. Sie drückt die Beziehung 
aus, welcher alle Linienelemente des Curvensystems (3) Genüge 
leisten und heisst die Differentialgleichung dieses Curvensystems. 
Daraus ergibt sich die wichtige Thatsache, dass ein einfach 
unendliches Curvensystem analytisch in zweifacher Weise charak- 
terisirt werden kann: durch eine endliche Gleichung zwischen 
zwei Yariabeln und einem veränderlichen Parameter und durch 
eine Differentialgleichung erster Ordnung mit denselben zwei 
Yariabeln. 
304. Bei Lösung von Aufgaben, welche Curvensysteme 
betreffen, wird bald von der endlichen, bald von der Differen 
tialgleichung mit Yortheil Gebrauch zu machen sein. Zur 
Illustration mögen die folgenden Beispiele dienen. 
Beispiel 1. Durch die Gleichungen 
y — J) = m(x — a) 
y — h'= m(x — d), 
wenn darin m, m als veränderliche Parameter gelten, sind 
zwei Strahlenbüschel mit den Mittelpunkten a/h, a'/b' be 
stimmt. Besteht zwischen den Parametern die in Bezug auf 
beide lineare Gleichung 
ccmm' -f- ßm -{- ym'-j- ä = 0, 
so sind dadurch die Strahlen beider Büschel in gegenseitig 
eindeutiger Zuordnung, und der Ort der Schnittpunkte zugeord 
neter Strahlen oder das Erzeugnis der beiden Büschel ergibt 
sich durch Elimination von m, m zwischen obigen drei Glei 
chungen, wodurch’ 
~ ty{y — b') + ß(x — d){y — b) + y(x — a)(y — b') 
-f- d (x — a) (x — d) — 0 
erhalten wird; dies aber ist eine Gleichung zweiten Grades in 
Bezug auf x, y. Bas Erzeugnis zweier projectiven Strahlen 
büschel*) ist also eine Kegelschnittslinie. 
*) Das Wesen der Projectivität zweier Gebilde erster Stufe (Punkt 
reiben, Strablenbüscbel etc.) besteht in der gegenseitig eindeutigen Zu 
ordnung ihrer Elemente. 
Czuber, Vorlesungen. II. 
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