Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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Die verlangten geometrischen Orte *) sind also Curven 
dritter Ordnung, welche wegen des gleichartigen Baues ihrer 
Gleichungen ähnliche Eigenschaften besitzen. 
305. Es ist im voraus einleuchtend, dass zwischen der 
Structur einer Differentialgleichung und derjenigen ihres all 
gemeinen Integrals ein Zusammenhang bestehen wird. Bevor 
wir diesen Zusammenhang in einer Anzahl wichtiger Fälle 
feststellen, wollen wir einen hiermit zusammenhängenden Be 
griff entwickeln. 
Es sei 
(10) F{x, y, C) = 0 
ein einfach unendliches Curven System; auf dasselbe werde die 
Transformation (63, II) 
(11) X = <p(x u y t , a), y = y u a) 
mit dem veränderlichen Parameter a angewendet. Verwandelt 
sich dabei die Gleichung (10) in eine gleichartig gebaute mit 
den Yariabeln x u y 1} nämlich in 
(12) F(x u y u Ci) = 0, 
so bedeutet dies, dass durch die Transformation (11) jede 
Curve von (10) in eine bestimmte andere desselben Systems 
verwandelt worden ist; es wird im Allgemeinen G 1 eine Func 
tion von C und a sein. Wir wollen dann sagen, das Curven- 
system (10) gehe bei der Transformation (11) in sich selbst 
über oder bleibe invariant. 
Ist 
(13) f(x, y, y) = 0 
die zu (10) gehörige Differentialgleichung, so kann die zu 
(12) gehörige auf zweifache Weise gewonnen werden; einmal 
durch Anwendung der Transformation (11) auf (13), oder aber 
durch Differentiation von (12) nach x x und Elimination von C^; 
da aber (12) mit (10) bis auf die Bezeichnungen völlig über- 
*) Die Ortscurven können auch als Erzeugnisse des vorgelegten 
Kreisbüscbels mit zwei projectiven Strahlenbüscheln dargestellt werden, 
die erste mit dem Durcbmesserbüschel aus dem Punkte h / c, die zweite 
mit dem Polarenbüscbel, welches dem genannten Punkte in Bezug auf 
das Kreisbüscbel entspricht. 
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