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Zweiter Theil. Integral-Rechnung. 
bei den affinen Transformationen orthogonal zur y-Axe 
(29) x = ax 1 , y = y x 
unverändert bleibt und daher ein Integral von der Form 
F{Cx, y) = 0 
besitzt. 
Beispiel 6. Eine Differentialgleichung von der Gestalt 
( 3 °) y'=f{i) 
Fig. 167. 
wird eine homogene. Differentialgleichung genannt. Sie definirt 
ein System von Linienelementen solcher Art, dass die Punkte 
paralleler Elemente auf Geraden durch 
den Ursprung liegen, Fig. 167. 
Daraus schliesst man, dass das 
System der Integralcurven bei perspec- 
tivischer Transformation aus dem Ur 
sprünge, d. h. bei proportionalen Ver 
änderungen aller Strahlen aus dem Ur 
sprünge unverändert bleibt, dass mithin 
das allgemeine Integral den Bau 
(31) Fix, y) + CO{x, y) = 0 
haben müsse, worin F, O homogene Functionen bedeuten. 
Thatsächlich 
mationen 
verwandeln die perspectivischen Transfor- 
(32) x = ax x , у = ay x 
die Gleichung (30) in 
und auf (31) angewendet geben sie, wenn F vom Homogeni 
tätsgrade г, Ф vom Grade s ist, nach 55 
F{x x , y x ) + С х Ф{х х , y x ) = 0 mit C x = a s ~ r C. 
§ 2. Integrationsmethoden für Differentialgleichungen 
erster Ordnung. 
306. Einen Ausdruck Xdx, wo X Function von x allein 
ist, nennt man ein exactes Differential in x. 
Wenn die Glieder einer Differentialgleichung exacte Diffe 
rentiale sind, so sagt man, die Yariabeln seien getrennt; die