Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen, 279 
Integration der Gleichung kann dann unmittelbar vollzogen 
werden. 
Hat nämlich eine Differentialgleichung erster Ordnung und 
ersten Grades (in Bezug auf y) die Form 
(1) Xdx + Ydy = 0, 
so folgt aus ihr unmittelbar 
(2) fXdx + f Ydy = (7; 
diese endliche Gleichung bildet das allgemeine Integral der 
vorausgehenden. Dabei wird die Lösung als vollzogen be 
trachtet, gleichgiltig, ob es möglich ist, die Integrale durch 
die elementaren Functionen in endlicher Form darzustellen 
oder nicht. 
In manchen Fällen gelingt die Trennung der Variabein 
durch einen einfachen Rechnungsprocess, wie z. B. in dem Falle 
X x Y 2 dx + X 2 Y x dy = 0, 
wo man nach Multiplication mit 
^ dx -f- ^ dy = 0. 
In andern Fällen muss zu hesondern Hilfsmitteln gegriffen 
werden, und unter diesen ist die Transformation einer oder 
beider Yariabeln eines der wichtigsten. 
307. Beispiele. 1) Die Differentialgleichung 
dy i y* + l 0 
dx ' a? 2 -f- 1 
lautet nach Trennung der Yariabeln 
dx , dy n 
x* + 1 p~+T “ U 
und gibt zunächst 
arctg x arctg y = C. 
Yon dieser transcendenten Form kann man leicht zu einer 
algebraischen Form übergehen, wenn man die linke Bogen 
summe durch einen Bogen ersetzt und für G schreibt arctg c; 
es ist dann 
arctg = arctg c,