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Zweiter Theil. Integral-Rechnung. 
310. Wenn eine Differentialgleichung der ersten Ordnung 
und ersten Grades in der Form 
(1) Mdx + Ndy = 0, 
wo M, N im Allgemeinen Functionen von x, y bedeuten, ge 
schrieben ist, so liegt es nahe, zu fragen, ob nicht die linke 
Seite das unveränderte Resultat der Differentiation einer ge 
wissen Function darstelle; wäre dem so und u diese Function, 
so könnte statt (1) kurz 
du = 0 
geschrieben werden; das aber findet für beliebige Werte von 
x, y nur statt, wenn 
(2) u = C; 
damit hätte man das allgemeine Integral von (1) gefunden. 
Da aber in solchem Falle 
M = 
du 
dx : 
N = 
du 
dy 
sein muss, so folgt, dass nothwendig 
(3) 
dM 
dy 
d s u 
ist, weil beide Differentialquotienten der Ausdruck für -^Ydy s * nc ^ 
Nur wenn also die Bedingung (3) erfüllt ist, ist die linke 
Seite der Gleichung (1) ein „exactes Differential“; die Glei 
chung selbst heisst dann eine exacte Differentialgleichung. 
Das Vorhandensein der Bedingung (3) vorausgesetzt, kann 
die Function u und dadurch das allgemeine Integral auf fol 
gende Weise bestimmt werden. 
Da Mdx das partielle Differential von u in Bezug auf x 
vorstellt, so wird u durch Integration von Mdx in Bezug auf 
x erhalten bis auf einen von y allein abhängigen Theil, so dass 
man setzen darf 
u =j Mdx + Y, 
wobei die Integration so zu geschehen hat, als ob y constant 
wäre. Durch Differentiation dieser Gleichung ergibt sich aber 
'df Mdx 
du = Mdx -f- Ndy — Mdx -f- 
L cy 
+ 
dY 
dy _ 
dy