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Zweiter Theil. Integral-Rechnung.
Ist das Curvensystem in Polarcoordinaten dargestellt und
(5) F(r, cp, c) = 0
seine endliche,
(6) f(r, cp, r) = 0
die Differentialgleichung, so gehe man davon aus, dass durch
y = tg 0
der Winkel bestimmt ist, welchen die Tangente im Punkte
r/cp an die gegebene Curve mit dem verlängerten Leitstrahle
dieses Punktes bildet. Für die Trajectorie wird der analoge
Winkel durch
dcp
bestimmt sein, wenn ^ auf die Trajectorie sich bezieht; die
Orthogonalität beider Curven erfordert, dass
sei,
tg 9 tg 0! + 1 =
woraus sich
dr
dcp
+ 1
dcp
0
ergibt. Trägt man dies in (6) ein und schreibt für ~ wieder
kurz r, so erhält man
( 7 ) f{ r , <P, —y) = Q
als Differentialgleichung der orthogonalen Trajectorien.
Für schiefe Trajectorien unter dem Winkel ff ergibt sich
in ähnlicher Weise die Differentialgleichung
(8)
r, cp,
kr* + rr
r — kr
wenn tg ff = Je gesetzt wird.
327. Beispiele. 1) Die orthogonalen Trajectorien der
Parabelschar
y = ax n
(Parameter o) zu bestimmen.